Cara Menentukan Pecahan diantara Dua Pecahan

Banyak sekali yang dapat digali dari pecahan, diantaranya mulai dari pecahan yang senilai, operasi pada bilangan pecahan, hingga pecahan diantara dua pecahan, dan masih banyak lagi yang lainnya. Diantara dua bilangan pecahan yang berbeda akan selalu ada bilangan pecahan lainnya. Untuk menentukan nilai pecahan diantara dua pecahan yang berbeda tersebut dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
  1. Samakan penyebut dari dua pecahan yang berbeda tersebut, kemudian tentukan pecahan yang dicari
  2. Jika seandainya nilai pecahan yang dicari belum ditemukan semuanya, maka samakan lagi penyebutnya menjadi pecahan yang senilai lainnya
Berikut ini akan disajikan beberapa contoh terkait menentukan pecahan di antara dua pecahan.

Contoh 1
Tentukan sebuah pecahan diantara pecahan $\frac{3}{5}$ dan $\frac{2}{3}$!
Penyelesaian
$\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$
$\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$
Karena belum ditemukan pecahan diantara $\frac{9}{15}$ dan $\frac{10}{15}$, dilanjutkan lagi dengan menyamakan penyebutnya atau mencari pecahan senilai lainnya
$\frac{3}{5} = \frac{18}{30}$
$\frac{2}{3} = \frac{20}{30}$
Diantara pecahan $\frac{18}{30}$ dan $\frac{20}{30}$ terdapat pecahan $\frac{19}{30}$. Jadi, sebuah pevahan diantara pecahan $\frac{3}{5}$ dan $\frac{2}{3}$ adalah $\frac{19}{30}$.

Selain, satu pecahan kita juga dapat menentukan lebih dari satu pecahan diantara dua pecahan yang berbeda. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut!

Contoh 2
Sisipkan dua pecahan diantara pecahan $\frac{1}{6}$ dan $\frac{2}{9}$!
Penyelesaian
$\frac{1}{6} = \frac{3}{18}=\frac{6}{36} = \frac{9}{54}$
$\frac{2}{9} = \frac{4}{18}= \frac{8}{36} = \frac{12}{54}$
Pecahan  diantara $\frac{9}{54}$ dan $\frac{12}{54}$ adalah $\frac{10}{54}$ dan $\frac{11}{54}$. Jadi, sisipan dua pecahan diantara pecahan $\frac{1}{6}$ dan $\frac{2}{9}$ adalah $\frac{10}{54}$ dan $\frac{11}{54}$

Contoh 3
Sisipkan tiga pecahan diantara pecahan $\frac{1}{3}$ dan $\frac{3}{8}$!
Penyelesaian 
$\frac{1}{3} = \frac{8}{24}=\frac{16}{48} = \frac{32}{96}$
$\frac{3}{8} = \frac{9}{24}= \frac{18}{48} = \frac{36}{96}$
Pecahan  diantara $\frac{32}{96}$ dan $\frac{36}{96}$ adalah $\frac{33}{96}$, $\frac{34}{36}$ dan $\frac{35}{96}$. Jadi, sisipan dua pecahan diantara pecahan $\frac{1}{3}$ dan $\frac{3}{8}$ adalah $\frac{33}{96}$, $\frac{34}{36}$ dan $\frac{35}{96}$.

Selain, semua contoh di atas kita juga dapat menentukan pecahan diantara dua pecahan negatif. Berikut ini adalah contohnya

Contoh 4
Tentukan sebuah pecahan diantara pecahan $-\frac{4}{7}$ dan $-\frac{5}{7}$!
Penyelesaian
$-\frac{4}{7} = -\frac{8}{14}$ 
$-\frac{5}{7} = -\frac{10}{14}$
Pecahan diantara pecahan $-\frac{8}{14}$ dan $ -\frac{10}{14}$ adalah $-\frac{9}{14}$. Jadi, sebuah pecahan diantara pecahan $-\frac{4}{7}$ dan $-\frac{5}{7}$ adalah $-\frac{9}{14}$

Jadi, demikianlah mengenai cara menentukan pecahan diantara dua pecahan, semoga bermanfaat dan dapat dipahami

Sudut Saling Berpenyiku dan Berpelurus

Jika dari dua buah garis sejajar dipotong oleh sebuah garis, maka kita akan mendapatkan sudut-sudut yang memiliki hubungan seperti sehadap, berseberangan, dan sepihak. Namun, apabila dua sudut membentuk sudut siku-siku ataupun sudut lurus maka kita akan mendapatkan hubungan dua sudut yang dikenal sebagai saling berpenyiku dan saling berpelurus. Dalam artikel kali ini kita akan membahas mengenai hubungan dua sudut sudut tersebut yaitu saling berpenyiku dan berpelurus.

Sudut Saling Berpenyiku (Berkomplemen)

Sesuai dengan judul berpenyiku dengan kata dasar siku atau siku-siku maka besar sudutnya adalah 90o . Apabila dua sudut yang letaknya saling bersebelahan membentuk sudut siku-siku atau jumlah besar sudutnya 90o  maka sudut-sudut tersebut dapat dikatakan saling berpenyiku atau disebut juga berkomplemen. Sudut yang satu disebut penyiku dari sudut yang lain.

Dengan demikian misalkan sudut ADB dan sudut BDC saling berpenyiku, maka sudut ADB + sudut BDC = 90o  dan sudut BDC merupakan penyiku dari sudut ABC. Perhatikan gambar di bawah:

Contoh 1
Jika sudut A = $35^o$ , tentukan penyiku dari sudut A!
Penyelesaian
Misalkan B adalah penyiku dari sudut A, maka
sudut B = $90^o – 35^o = 55^o$
Jadi, besar penyiku dari sudut A adalah $55^o$

Contoh 2
Perhatikan gambar di bawah ini!
Tentukan nilai x!
Penyelesaian
$x^o + (x + 22)^o + 2x^o = 90$
$4x^o + 22^o = 90^o$
$4x^o = 90^o$
$x = \frac{90^o}{4^o}$
$x = 17$

Sudut Saling Berpelurus (Bersuplemen)

Berpelurus diambil dari kata dasar lurus, sudut yang dibentuk oleh sebuah garis lurus adalah 180o . Dua sudut yang disebut saling berpelurus apabila jumlah besar kedua sudut tersebut adalah 180o . Sudut yang satu disebut pelurus dari sudut yang lain. 

Dengan demikiian misalkan sudut ABD dan sudut CBD saling berpelurus, maka sudut ABD + sudut CBD = 180o . Sudut CBD disebut pelurus dari sudut CBD. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah.

Contoh 3
Jika diketahui sudut ABC = $112^o$ , maka besar pelurus dari sudut ABC adalah …
Penyelesaian
Pelurus dari ABC = $180^o – 112^o = 78^o$
Jadi, besar pelurus dari sudut ABC adalah $78^o$

Contoh 4
Diketahui sudut A = $(4x – 13)^o$  dan sudut B = $(x + 3)^o$ , jika sudut A dan sudut B saling berpelurus. Tentukan besar sudut A dan sudut B!
Penyelesaian
Sudut A + Sudut B = $180^o$
$(4x – 13)^o + (x + 3)^o = 180^o$
$5x^o – 10^o = 180^o$
$5x^o = 190^o$
$x = 38$
Sudut A = $(4 \times 38^o – 13)^o = (152 – 13)^o = 139^o$
Sudut B = $(38 + 3)^o = 41^o$
Jadi, besar sudut A dan sudut B berturut-turut adalah $139^o$ dan $41^o$

Demikianlah mengenai sudut saling berpenyiku dan berpelurus semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Operasi Pada Bilangan Pecahan (Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian)

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$ dimana p dan q adalah bilangan bulat dan $q \neq 0$. Bilangan bulat p dikenal sebagai pembilang sedangkan q disebut penyebut. Kelihatan remeh sekali bilangan pecahan ini dikalangan para siswa. Namun, banyak kasus yang lucunya diantara mereka kebingungan ketika diminta menyelesaikan soal-soal yang disisipi bilangan pecahan.

Nah, dalam artikel ini akan dibahas mengenai operasi pada bilangan pecahan. Operasi hitung yang dimaksud dalam hal ini adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan operasi pembagian pada bilangan pecahan

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Pada Bilangan Pecahan

Menjumlahkan dan mengurangkan bilangan pecahan dapat dilakukan dengan menyamakan penyebutnya. Dalam hal ini kita mencari KPK dari penyebut pecahan yang akan kita jumlah maupun dikurangkan. Setelah mendapat KPKnya jangan lupa juga untuk mengalikan pembilangnya agar pecahan tersebut senilai. Kemudian setelah penyebutnya sama, kita jumlah atau kurangkan pembilangnya saja. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh 1
$\frac{1}{3}+\frac{5}{2} = ...$
Penyelesaian
Dalam hal ini penyebut dari masing-masing pecahan adalah 3 dan 2 maka KPKnya adalah 6
$\frac{1}{3}+\frac{5}{2} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2}+\frac{5 \times 3}{2 \times 3}$$= \frac{2}{6} + \frac{15}{6} = \frac{17}{6}$

Contoh 2
$\frac{4}{12}-\frac{7}{6} = ...$
Penyelesaian
$\frac{4}{12}-\frac{7}{6} =  \frac{4 \times 1}{12 \times 1}- \frac{7 \times 2}{6 \times 2}$$= \frac{4}{12} - \frac{14}{12} = - \frac{10}{12}$

Bagaimana jika, kita menemukan penjumlahan atau pengurangan bilangan pecahan dengan bilangan bulat? Untuk menjawab pertanyaan tersebut perhatikan contoh berikut

Contoh 3
$\frac{5}{7}+ 6 = ...$
Penyelesaian
Kita dapat menganggap 6 sebagai pecahan $\frac{6}{1}$ dan kemudian kita lanjutkan dengan menyamakan penyebutnya
$\frac{5}{7}+ 6 = \frac{5 \times 1}{7 \times 1}+ \frac{6 \times 7}{1 \times 7}$$= \frac{5}{7} + \frac{42}{7} =  \frac{47}{7}$

Kadang kala kita juga mendapati soal penjumlahan pecahan campuran. Pada dasarnya cara menjumlahkan atau mengurangkan pecahan campuran sama saja dengan melakukan penjumlahan atau pengurangan pecahan biasa.

Contoh 4
$2 \frac{5}{6}- 1\frac{3}{4} = ...$
Penyelesaian
Terdapat dua cara menyelesaikan soal tipe ini, yaitu dengan menjadikan pecahan campuran menjadi pecahan biasa atau menjumlahkan langsung dengan tetap menyamakan penyebutnya terlebih dahulu
Cara I
$2 \frac{5}{6}- 1\frac{3}{4} = \frac{17}{6} - \frac{7}{4} $$= \frac{34}{12} - \frac{21}{12} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12}$
Cara pertama akan tidak efektif apabila melibatkan angka-angka yang besar. Untuk itu cara ke dua ini mungkin akan lebih efektif
Cara II
$2 \frac{5}{6}- 1\frac{3}{4} = (2 - 1)(\frac{5}{6} - \frac{3}{4}) $$= 1(\frac{10}{12} - \frac{9}{12} = 1\frac{1}{12}$

Contoh 5
$7 \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = ...$
Penyelesaian
Cara II
$7 \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = (7 + 0) (\frac{1}{2} + \frac{2}{3})$$= 7(\frac{3}{6} + \frac{4}{6}) = 7\frac{7}{6} = 8\frac{1}{6}$

Operasi Perkalian Pada Bilangan Pecahan

Operasi perkalian lebih mudah daripada operasi penjumlahan dan pengurangan. Apabila dua pecahan dikalikan maka kita tinggal kalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dikalikan dengan penyebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal perkalian bilangan pecahan berikut!

Contoh 6
$\frac{2}{3} \times \frac{1}{7} = ...$
Penyelesaian
$\frac{2}{3} \times \frac{1}{7} = \frac{2 \times 1}{3 \times 7} = \frac{2}{21}$

Apabila bilangan pecahan dikalikan dengan bilangan bulat, maka dapat dilakukan dengan mengalikan pembilang pecahan dengan bilangan bulat tadi.

Contoh 7
$\frac{3}{7} \times 4 = ...$
Penyelesaian
$\frac{3}{7} \times 4 = \frac{3 \times 4}{7} = \frac{12}{7}$

Sedangkan, perkalian antara bilangan pecahan campuran dengan bilangan bulat maupun pecahan biasa dapat dilakukan dengan menjadikan pecahan campuran menjadi pecahan biasa.

Operasi Pembagian Pada Bilangan Pecahan

Operasi pembagian antara bilangan pecahan dapat dilakukan dengan membalik pembagi dari bilangan pecahan dan tanda bagi dirubah menjadi perkalian. Untuk lebih jelasnya mengenai pembagian pada bilangan pecahan dapat dilihat pada contoh berikut

Contoh 8
$\frac{2}{3} : \frac{5}{4} = ...$
Penyelesaian
$\frac{2}{3} : \frac{5}{4}$ = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$$ = \frac{8}{15}$

Contoh 9
$\frac{4}{5} : 6 = ...$
Penyelesaian
$\frac{4}{5} : 6 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{6} $$= \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ (disederhanakan)

Contoh 10
$7 : \frac{2}{3} = ...$
Penyelesaian
$7 : \frac{2}{3} = 7 \times \frac{3}{2} = \frac{21}{2}$

Demikianlah mengenai operasi hitung pada bilangan pecahan yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian semoga bermanfaat dan dapat dipahami.

Cara Melukis Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga Menggunakan Jangka

Sebelum menggambar/melukis lingkaran dalam dan luar segitiga ada baiknya kita pahami dahulu apa yang dimaksud dengan lingkaran dalam dan luar segitiga. Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung bagian dalam ketiga sisi segitiga. Sedangkan lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang menyinggung atau melalui ketiga titik sudut segitiga.
Untuk melukis lingkaran dalam maupun luar segitiga, alat-alat yang  digunakan adalah alat tulis berupa pensil/pulpen , penggaris, jangka, dan tentu seja kertas untuk menggambarnya.

Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga adalah

  • Lukislah segitiga sembarang
  • Dengan menggunakan jangka lukislah dua garis bagi dari segitiga tersebut, sehingga keduanya bertemu pada satu titik. Untuk membuat garis bagi dapat dilihat pada artikel Cara Melukis Garis Bagi
  • Buat garis melalui titik potong tersebut dan tegak lurus dengan salah satu sisi segitiga (Garis ini akan digunakan sebagai pemandu jari-jari lingkaran dalam segitiga)
  • Lukislah lingkaran dengan  titik potong garis bagi sebelumnya sebagai pusatnya

Lingkaran dalam segitiga telah selesai dilukis


Melukis Lingkaran Luar Segitiga

Langkah-langkah melukis lingkaran luar segitiga adalah

  • Sama seperti lingkaran dalam segitiga, pertama lukislah segitiga sembarang
  • Dengan menggunakan jangka buat dua buah garis sumbunya, sehingga keduanya bertemu pada satu titik. Untuk melukis garis sumbu segitiga dapat dilihat pada artikel Cara Melukis Garis Sumbu
  • Tarik garis melalui titik potong garis sumbunya ke salah satu titik sudut segitiga. Garis tersebut merupakan jari-jari lingkaran
  • Dengan menggunakan jangka buatlah lingkaran dengan pusat di titik potong garis sumbu yang telah dibuat sebelumnya
Lingkaran luar segitiga telah selesai dibuat

Dalam perkembangan selanjutnya, selain melukis kita juga dapat menentukan jari-jari dari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Mengenai jari-jari tersebut akan dibahas pada artikel Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga. Demikianlah mengenai cara melukis lingkaran dalam dan luar segitiga, semoga bermanfaat.

Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, ada tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap suatu parabola yaitu berpotongan di dua titik, bersinggungan, dan tidak memotong maupun menyinggung. Selanjutnya, dari kedudukan bersinggungan ini ada kalanya kita diminta untuk menentukan  persamaan garis singgungnya. Dalam hal ini terdapat tiga kondisi dimana kita diminta untuk menentukan persamaan garis singgungnya yaitu, persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada parabola, persamaan garis singgung dengan gradien tertentu, dan persamaan garis singgung yang melalui satu titik di luar parabola.

Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik Pada Parabola

Yang dimaksud dengan persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada parabola adalah dimana kita diminta untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang diketahui melalui satu titik pada parabola. Karena parabola dibedakan oleh letak puncaknya, maka  akan dibahas mengenai persamaan garis singgung parabola dengan puncak di $O(0, 0)$ dan  persamaan garis singgung parabola dengan puncak $P(a, b)$

Untuk Parabola yang Berpuncak di $O(0, 0)$
Berikut ini adalah rumus untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui $A(x_1, y_1)$ pada parabola yang beruncak di $O(0, 0)$
$y^2 = 4px$ adalah $yy_1 = 2p(x + x_1 )$
$y^2 = -4px$ adalah $yy_1 = -2p(x + x_1 )$
$x^2 = 4py$ adalah $xx_1 = 2p(y + y_1 )$
$x^2 = -4py$ adalah $xx_1 = -2p(y + y_1 )$

Untuk Parabola yang Berpuncak di $P(a, b)$
Apabila parabola memiliki puncak $P(a, b)$, maka rumus untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik $A(x_1, y_1)$ pada parabola adalah
$(y - b)^2 = 4p(x - a)$ adalah $(y - b)(y_1 - b) = 2p(x + x_1 - 2a)$
$(y - b)^2 = -4p(x - a)$ adalah $(y - b)(y_1 - b) = -2p(x + x_1 - 2a)$
$(x - a)^2 = 4p(y - b)$ adalah $(x - a)(x_1 - a) = 2p(y + y_1 - 2b)$
$(x - a)^2 = -4p(y - b)$ adalah $(x - a)(x_1 - a) = -2p(y + y_1 - 2b)$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasan menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada parabola

Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ di titik $(-1, -2)$
Penyelesaian
$y^2 = -4x$ maka $p = 1$
Persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ di titik $(-1, -2)$ adalah
$yy_1 = -2p(x + x_1 )$
$y(-2) = -2(1)(x + (-2))$
$-2y = -2(x - 2)$
$y = x - 2$

Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung parabola $(x - 2)^2 = 8(y - 2)$ di titik $(6, 4)$
Penyelesaian
$(x - 2)^2 = 8(y - 2)$ maka $p = 2$
Persamaan garis singgung parabola $(x - 2)^2 = 8(y - 2)$ di titik $(6, 4)$ adalah
$(x - 2)(6 - 2) = 2(2)(y + 4 - 2(2))$
$(x - 2)(4) = 4(y + 0)$
$x - 2 = y$
$y = x - 2$

Persamaan Garis Singgung Parabola dengan Gradien Tertentu

Persamaan garis singgung yang dimaksud adalah persamaan garis singgung parabola yang telah diketahui gradiennya. Misalkan $m$ adalah garis singgung suatu parabola, maka persamaan garis singgung parabolanya dapat ditentukan dengan rumus

Untuk Parabola yang Berpuncak di $O(0, 0)$
$y^2 = 4px$ adalah $y= mx + \frac{p}{m}$
$y^2 = -4px$ adalah $y= mx - \frac{p}{m}$
$x^2 = 4py$ adalah $y= mx - m^2 p$
$x^2 = -4py$ adalah $y= mx + m^2 p$

Untuk Parabola yang Berpuncak di $P(a, b)$
$(y - b)^2 = 4p(x - a)$ adalah $(y - b) = m(x - a) + \frac{p}{m}$
$(y - b)^2 = -4p(x - a)$ adalah $(y - b) = m(x - a) - \frac{p}{m}$
$(x - a)^2 = 4p(y - b)$ adalah $(y - b) = m(x - a) - m^2 p$
$(x - a)^2 = -4p(y - b)$ adalah $(y - b) = m(x - a) + m^2 p$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut yang telah disertai dengan pembahasanya

Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung parabola $y^2 = 6x$ yang mempunyai gradien $m = -2$
Penyelesaian
$y^2 = 6x$ maka $p = \frac{3}{2}$
Persamaan garis singgung parabola $y^2 = 6x$ yang mempunyai gradien $m = -2$ adalah
$y= -2x + \frac{\frac{3}{2}}{-2}$
$y= -2x - \frac{3}{4}$

Kadangkala, dalam soal nantinya kita dihadapkan pada masalah yang terkait dengan kedudukan garis terhadap garis lainnya untuk itu kita harus mengingat kembali materi gradien persamaan garis lurus. Berikut ini adalah contoh soalnya

Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung parabola $x^2 - 6x - 2y + 5 = 0$ yang sejajar dengan garis $3x - 4y + 5$
Penyelesaian
Langkah pertama, ubah terlebih dahulu bentuk $x^2 - 6x - 2y + 5 = 0$ menjadi bentuk bakunya
$x^2 - 6x - 2y + 5 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 2y - 4$
$(x - 3)^2 = 2(y - 2)$
Sehingga diperoleh nilai $p = \frac{1}{2}$
Langkah kedua, tentukan gradien $3x - 4y + 5$ yaitu $m_1 = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$.Karena garis yang dicari sejajar dengan $3x - 4y + 5$ maka berlaku $m_2 = m_1 = \frac{3}{4}$
Persamaan garis singgung parabola $x^2 - 6x - 2y + 5 = 0$ yang sejajar dengan garis $3x - 4y + 5$ adalah
$(y - b) = m(x - a) - m^2 p$
$(y - 2) = \frac{3}{4}(x - 3) - (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{2})$
$(y - 2) = \frac{3}{4}x - \frac{9}{4} - \frac{9}{32}$
$y = \frac{3}{4}x - \frac{72}{32} - \frac{9}{32} + 2$
$y = \frac{3}{4}x - \frac{81}{32} + \frac{64}{32}$
$y = \frac{3}{4}x - \frac{17}{32}$

Contoh 5
Tentukan persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ yang membentuk sudut $60^o$ dengan sumbu x
Penyelesaian
$y^2 = -4x$ maka $p = 1$
Gradien $m = tan 60^o = \sqrt{3}$
Persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ yang membentuk sudut $60^o$ dengan sumbu x adalah
$y= mx - \frac{p}{m}$
$y= \sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}}$
$y= \sqrt{3}x - \frac{1}{3}\sqrt{3}$

Persamaan Garis Singgung Parabola yang Melalui Satu Titik di Luar Parabola

Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang melalui satu titik di luar parabola caranya kurang lebih sama seperti menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik di luar lingkaran. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang melalui satu titik di luar parabola adalah

  1. Buat persamaan garis yang melalui $A(x_1 , y_1 )$ dengan memisalkan gradiennya m yaitu $y – y_1  = m(x – x_1 )$
  2. Substitusikan y (Persamaan garis yang didapat pada langkah pertama) ke persamaan parabola sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Kemudian tentukan nilai diskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut
  3. Karena garis menyinggung parabola, maka nilai $D = 0$. Dari D = 0 akan diperoleh nilai gradien $m$. Kemudian substitusikan nilai $m$ ke persamaan garis pada langkah pertama. Sehingga akan didapat persamaan garis yang dicari
Agar mempermudah dalam menyelesaikan masalah atau soal-soal yang dihadapi nantinya, diharapkan juga kita telah memahami cara menentukan persamaan garis lurus. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal yang telah dilengkapi pembahasannya

Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ yang melalui titik $(2, 1)$
Penyelesaian
Persamaan garis yang $(-\frac{1}{4}, 1)$

$y – y_1  = m(x – x_1 )$
$y – 1  = m(x - 2)$
$y = mx - 2m + 1$
Substitusi $y = mx - 2m + 1$ ke persamaan parabola $y^2 = -4x$
$(mx - 2m + 1)^2 = -4x$
$m^2 x^2 + 4m^2 + 1 - 4m^2 x +$ $2mx - 4m  = -4x$
$m^2 x^2 + 4m^2 + 1 - 4m^2 x +$$ 2mx - 4m + 4x = 0$
$m^2 x^2  - 4m^2 x + 2mx + 4x +$$ 4m^2 - 4m + 1 = 0$
$m^2 x^2 - (4m^2 - 2m-  4)x +$$ (4m^2 - 4m + 1)= 0$
Karena garis menyinggung maka $D = 0$
$b^2 - 4ac = 0$
$(- (4m^2 - 2m -  4))^2 - $$4m^2 (4m^2 - 4m + 1) = 0$
$16m^4  + 4m^2  + 16 - 16m^3 - 32m^2 +$$ 16m  - 16m^4  + 16m^3 - 4m^2 = 0$
$-32m^2  + 16  + 16m = 0$
$32m^2  - 16m - 16 = 0$

$2m^2 - m - 1 = 0$
$(2m + 1)(m - 1) = 0$
$m = -\frac{1}{2}$ atau $m = 1$
Jadi, persamaan garis singgungnya
Untuk $m = -\frac{1}{2}$
$y = mx - 2m + 1$
$y = -\frac{1}{2}x - 2(-\frac{1}{2}) + 1$
$y = -\frac{1}{2}x + 2$
Untuk $m = 1$
$y = mx - 2m + 1$
$y = 1x - 2(1) + 1$
$y = x - 1$

Demikianlah mengenai persmaan garis singgung parabola, semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Menentukan Kedudukan Garis Terhadap Suatu Parabola

Terdapat tiga kemungkinan posisi/kedudukan garis terhadap parabola, pertama mememotong parabola di dua titik, kedua memotong pada bola di satu titik atau menyinggung parabola, dan ketiga tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap parabola yaitu memotong di dua titik, menyinggung, dan tidak memotong maupun menyinggung parabola. Ketiga kondisi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut
Untuk menentukkan kedudukan garis terhadap suatu parabola, dapat dilakukan dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut:

  1. Substitusi persamaan garis ke dalam persamaan parabola, dari hasil substitusi tersebut akan diperoleh persamaan kuadrat.
  2. Kemudian tentukan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut
Kedudukan suatu garis terhadap parabola ditentukan dengan nilai diskriminan $(D = b^2 - 4ac)$ sebagai berikut

$D > 0$, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan
$D = 0$, maka garis menyinggung parabola
$D < 0$, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal  berikut!

Contoh 1
Tentukan kedudukan garis $x - y + 2 = 0$ terhadap parabola $x^2 - y = 0$!
Penyelesaian
$x - y + 2 = 0$
$y = x + 2$

Substitusi $y = x + 2$ ke $x^2 - y = 0$
$x^2 - (x + 2) = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$

$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 9 (D > 0)$, maka garis memotong parabola pada dua titik

Selain kedudukan dalam beberapa kasus, kita akan dihadapkan pada soal yang meminta kita untuk menentukan titik potong atau titik singgung suatu garis. Untuk menentukan titik potong atau titik singgung garis pada suatu parabola, dapat dilakukan dengan menentukan akar-akar dari hasil substitusi persamaan garis ke persamaan parabola. Kemudian, dilanjutkan dengan menentukan nilai variabel yang lain dengan menggunakan metode substitusi ke persamaan garis.

Maka dari itu persamaan kuadrat hasil substitusi menjadi sangat penting baik dalam menentukan kedudukan garis maupun titik potong/titik singgungnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 2 
Tentukan kedudukan garis $2x - y + 3 = 0$ terhadap parabola $2x^2 - 4x - y + 7 = 0 $ serta tentukan titik potong atau singgung garis jika garis tersebut memotong atau menyinggung parabola
Penyelesian
$2x - y + 3 = 0$
$y = 2x + 3$

Substitusi $y = 2x + 3$ ke $2x^2 - 4x - y + 7 = 0 $
$2x^2 - 4x - (2x + 3) + 7 = 0 $
$2x^2 - 4x - 2x - 3 + 7 = 0 $
$2x^2 - 6x + 4 = 0 $
$x^2 - 3x + 2 = 0 $
$D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$ $(D > 0)$, maka garis memotong parabola pada dua titik

Titik potongnya
$x^2 - 3x + 2 = 0 $
$(x - 1)(x - 2) = 0 $
$x = 1$ atau $x = 2$
Untuk $x = 1$
$y = 2(1) + 3 = 5$ $(1, 5)$
Untuk $x = 2$
$y = 2(2) + 3 = 5$ $(2, 7)$
Jadi, titik potong garis dengan parabola adalah $(1, 5)$ dan $(2, 7)$

Agar lebih terampil dalam memecahkan masalah/soal-soal keduduakn garis terhadap parabola, berikut ini akan disajikan contoh soal beserta pembahasan lainnya terkait keduduakn garis terhadap parabola

Contoh 3
Tentukan nilai k agar garis  $x - y - k = 0$ dan parabola $y^2 =  2x - 4$ bersinggungan!
Penyelesaian
$x - y - k = 0$
$y = x - k$

Substitusi $y = x - k$ ke $y^2 =  2x - 4$
$(x - k)^2 =  2x - 4$
$x^2 - 2kx + k^2 = 2x - 4$
$x^2 - 2kx + k^2 - 2x + 4 = 0$
$x^2 - 2kx - 2x + k^2 + 4 = 0$
$x^2 -(2k - 2)x + (k^2 + 4) = 0$

Syarat garis menyinggung parabola $D = 0$
$b^2 - 4ac = 0$
$(-(2k - 2))^2 - 4(1)(k^2 + 4) = 0$
$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 - 16 = 0$
$ - 8k - 12 = 0$
$-8k = 12$
$k = \frac{12}{-8}$
$k = -\frac{3}{2}$
Jadi, agar $x - y - k = 0$ menyinggung parabola $y^2 =  2x - 4$ nilai k adalah $- \frac{3}{2}$

Contoh 4
Sebuah parabola yang berpuncak di P(3, 0) dan mempunyai fokus di F(4, 0). Tunjukkan bahwa parabola tersebut bersinggungan dengan garis $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$!
Penyelesaian
Langkah pertama untuk menyelesaikan Contoh 4 ini adalah dengan menentukan persamaan parabolanya
A(3, 0)
F(4, 0) ini berarti p = 4 - 3 = 1
Persamaan parabolanya
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
$(y - 0)^2$ = $4(1)(x - 3)$
$y ^2$ = $4x - 12$

Substitusi $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ ke $y ^2$ = $4x - 12$
$(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})^2$ = $4x - 12$
$\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ = $4x - 12$
$x^2 + 2x + 1 = 16x - 48$
$x^2 + 2x + 1 - 16x + 48 = 0$
$x^2 - 14x + 49 = 0$

Syarat garis menyinggung parabola $D = 0$
$D = b^2 - 4ac$
$D = (-14)2 - 4(1)(49)$
$D = 196 - 196$
$D = 0$
Jadi, terbukti jika parabola bersinggungan dengan garis $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Contoh 5
Tentukan batas-batas nilai p agar garis $y = px + 1$ tidak memotong maupun menyinggung parabola $y^2 = 2x$!
Penyelesaian
Substitusi $y = px + 1$ ke $y^2 = 2x$
$(px + 1)^2 = 2x$
$p^2 x^2 + 2px + 1 = 2x$
$p^2 x^2 + 2px + 1 - 2x = 0$
$p^2 x^2 + 2px - 2x + 1 = 0$
$p^2 x^2 + (2p - 2)x + 1 = 0$

Agar garis tidak memotong maupun menyinggung parabola maka $D < 0$
$b^2 - 4ac < 0$
$(2p - 2)^2 - 4(p^2)(1) < 0$
$4p^2 - 8p + 4 - 4p^2 < 0$
$-8p + 4 < 0$
$-8p < -4$
$p > \frac{-4}{-8}$
$p > \frac{1}{2}$
Jadi, batas-batas nilai p agar garis $y = px + 1$ tidak memotong maupun menyinggung parabola $y^2 = 2x$ adalah $p > \frac{1}{2}$

Demikianlah mengenai menetukan kedudukan garis terhadap suatu parabola, semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Penggunaan Dalil L'Hopital Untuk Menyelesaikan Limit Tak Tentu

Dalam permasalahan suatu limit sering kali kita dihadapkan pada soal yang menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$. Jika menemukan masalah seperti ini, limit tidak dapat dikerjakan dengan menggunakan cara substitusi langsung. Limit yang menghasilkan bentuk tak tentu seperti ini dapat diselesaiakan dengan cara memfaktorkan, membagi dengan pangkat tertinggi, atau mengelikan dengan faktor kawan/bentuk sekawan untuk fungsi dalam bentuk akar.

Selain itu, kita dapat menggunakan aplikasi turunan dalam menentukan limit yang menghasilkan bentuk tak tentu tersebut. Aplikasi ini dikenal dengan aturan L'Hopital atau lebih populer dikenal sebagai dalil L'Hopital.


Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel. Jika $g'(x) \neq 0$ untuk setiap $x \neq a$ dan jika $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ mempunyai bentuk tak tentu pada x = a maka
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ dengan catatan $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ada

Jika, setelah diturunkan tetap menghasilkan bentuk tak tentu, maka bentuk terakhir diturunkan lagi dan begitu seterusnya sehingga diperoleh nilai limitnya
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f''(x)}{g''(x)} = .....$  dan seterusnya

Untuk lebih jelasnya mengenai penggunaan Dalil L'Hopital dalam menyelesaikan limit bentuk tak tentu, berikut ini akan disajikan beberapa contoh soal beserta uraian atau pembahasannya.

Contoh 1
Dengan menggunakan aturan L'Hopital selesaiakanlah  $\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{x^2 - 9}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{x^2 - 9}$$= \lim_{x \to -3} \frac{1}{2x} $$= \frac{1}{2(-3)} = -\frac{1}{6}$

Contoh 2
Selesaiakan limit $\lim_{x \to 1} \frac{x^7 - 1}{x - 1}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 1} \frac{x^7 - 1}{x - 1}$$= \lim_{x \to 1} \frac{7x^6}{1} = 7(1)^6 = 7$

Contoh 3
Tentukan nilai $\lim_{x \to 0} \frac{3 - 2cos 2x}{x^2}$ dengan menggunakan aturan L'Hopital!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 0} \frac{3 - 2cos 2x}{x^2}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{4sin 2x}{2x}$
Karena masih menghasilkan bentuk tak tentu, maka bentuk terakhir diturunkan lagi
                       $ = \lim_{x \to 1} \frac{8cos2x}{2}$
                       $= \frac{8cos2(0)}{2}$
                       $= 4cos 0$
                       $ = 4(1)$
                       $= 1$

Sebagai catatatn tidak semua limit tak tentu lebih mudah digunakan dengan menggunakan dalil L'Hopital. Karena beberapa limit lebih efektif diselesaiakan dengan menggunakan cara yang telah dijelaskan dalam materi limit. Demikianlah mengenai penggunaan dalil L'Hopital untuk menyelesaiakna masala limit bentuk tak tentu, semoga bermanfaat dan dapat dipahami

Turunan Kedua dan Penggunaannya

Jika suatu benda bergerak memenuhi fungsi jarak s yang ditempuh selama waktu t. Maka turunan pertama s merupakan kecepatan benda tersebut. Jika dengan turunan pertama kita memperoleh kecepatan suatu benda, maka dengan turunan keduanya kita akan mendapatkan percepatanya

Sebelumnya kita telah mengenal turunan dalam hal ini adalah turunan pertama, turunan kedua merupakan kelanjutan dari turunan pertama. Apabila $f'(x)$ adalah pertama dari $f(x)$, maka $f''(x)$ adalah turunan kedua yang diperoleh dari penurunan kembali turunan pertama $f'(x)$. Selain percepatan, turunan kedua dalam penggunaanya dapat digunakan untuk menentukan jenis nilai stasionernya.

Notasi untuk turunan kedua dapat dituliskan menjadi $f''(x)$ atau $y''$ atau $\frac{d^2 f}{d x^2}$ atau  $\frac{d^2 y}{d x^2}$. Penulisan $\frac{d^2 f}{d x^2}$ merupakan penulisan singkat dari bentuk $\frac{d}{dx} \left(\frac{df}{dx}\right)$, begitu pula untuk $\frac{d^2 y}{d x^2}$ adalah penulisan singkat dari $\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{dx}\right)$. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal yang disertai pembahasannya berikut ini

Contoh 1
Carilah turunan kedua fungsi $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 8$!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 8$
$f'(x) = 3x^2 + 6x - 2$
$f''(x) = 6x + 6$

Contoh 2
Carilah nilai $f''(2)$ dari fungsi $f(x) = 5x^3 + 10x$!
Penyelesaian
$f(x) = 5x^3 + 10x$
$f'(x) = 15x^2 + 10$
$f''(x) = 30 x$
$f''(2) = 30(2) = 60$

Contoh 3
Turunan kedua dari fungsi $f(x) = sin^2 x$ adalah ...
Penyelesaian
$f(x) = sin^2 x$
$f'(x) = 2 sinx cosx$
$f''(x) = 2(cosx x cosx - sinx sinx)$
$f''(x) = 2(1 - sin^2 x - sin^2 x)$
$f''(x) = 2(1 - sin^2 x)$

Penggunaan Turunan Kedua
Turunan kedua dapat digunakan untuk menentukan jenis-jenis nilai stasionernya. Sebenarnya dari turunan pertama kita telah dapat mengetahuinya dengan menguji tanda-tandanya. Hal ini kadang terasa aga merepotkan, dengan menggunakan turunan kedua menentukan jenis-jenis nilai stasioner suatu fungsi akan lebih mudah. Dalam menentukan jenis nilai stasioner dengan menggunakan tes turunan kedua berlaku



Misalkan $f$$(x)$ kontinu pada interval $b < x < c$ yang memuat $x = a$. Turunan pertama $f'(x) $ dan turunan kedua $f''(x) $ terdefinisi dalam interval tersebut dan $f'(a) = 0$, maka
Jika $f''(x)< 0$, maka $f(a)$ adalah nilai balik naksimum
Jika $f''(x) > 0$, maka $f(a)$ adalah nilai balik minimum

Namun, ada hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan uji turunan kedua, jika $f''x = 0$ atau tak terhingga, maka jenis-jenis nilai stasionernya tidak dapat ditentukan. Apabila demikian, jenis-jenis nilai stasionernya hanya dapat digunakan dengan menggunakan uji turunan pertama saja.

Selain itu, dalam kehidupan sehari-hari turunan kedua dapat digunakan untuk menentukan nilai percepatan suatu fungsi. Untuk lebih jelasnya, berikut ini akan disajikan contoh soal dan pembahasanya.

Contoh 4
Dengan menggunakan uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi $f(x) = x^2 + 2x + 4$!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 + 2x + 4$
$f'(x) = 2x + 2$
$f''(x) = 2$
Nilai stasioner diperoleh dengan syarat $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$2x + 2 = 0$
$x = -1$

$f''(-1) = 2 > 0$
Oleh karena $f''(-1) > 0$, maka jenis nilai stasionernya adalah nilai balik minimum dengan nilai $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$

Contoh 5
Dengan menggunakan uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi $f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 2$!
Penyelesaian
$f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 2$
$f'(x) = 6x^2 - 10x - 4$
$f''(x) = 12x - 10$
Nilai satsioner diperoleh dengan syarat $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$6x^2 - 10x - 4 = 0$
$3x^2 - 5x - 2 = 0$
$(3x + 1)(x - 2) = 0$
$x = -\frac{1}{3}$ atau $x = 2$

$f''(-\frac{1}{3}) = 12 ( \frac{1}{3} ) - 10 = -6 < 0$, $f(-\frac{1}{3})$ adalah nilai balik maksimum dengan nilai $f(-\frac{1}{3}) = 2(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 4(-\frac{1}{3}) + 2 $ $= \frac{73}{27} = 2\frac{8}{27}$
$f''(2) = 12 ( 2) - 10 = 14 > 0$, $f(-\frac{1}{3})$ adalah nilai balik minimum dengan nilai $f(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 - 4(2) + 2 $ $= -42 $

Contoh 6
Sebuah benda bergerak menurut lintasan sepanjang s meter pada waktu t detik dan dirumuskan dengan dengan fungsi  $s = t^3 – 6t$
a. Carilah besarnya kecepatan dan percepatan benda sebagai fungsi t.
b. Hitunglah besarnya kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 3 s.
Penyelesaian
$s = t^3 – 6t$
a. Kecepatan dan percepatn dalam fungsi t
Kecepatan $v = s'$
$s' = 3t^2 – 6$
Percepatan $a = s''$
$s'' = 6t$
b. Kecepatan dan percepatan saat t = 3 s.
Kecepatan
$v = 3(3)^2 - 6 = 21$ m/s
$a = 6(3) = 16$ m/s$^2$
Jadi, kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 3 s adalah  21 m/s dan 16 m/s$^2$

Demikianlah mengenai turunan kedua dan penggunaanya, semoga bermanfaat dan dapat dpahami.

Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi Dalam Interval Tertutup

Perhatikan roket yang ditembakkan dari suatu tempat, lintasan roket terlihat seperti kurva. Saat waktu t tertentu roket mencapai ketinggian h maksimum. Jika melihat bentuk lintasan tersebut, untuk menentukan nilai t dan h roket agar mencapai tinggi yang maksimum akan sama halnya seperti mencari nilai stasioner dalam hal ini nilai balik maksimum. Nah, dalam artikel kali ini kita akan membahas mengenai masalah-masalah seperti di atas yang dikemas dalam materi nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup.

Nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam hal ini kurang lebih dapat diartikan nilai yang terbesar dan terkecil fungsi tersebut dalam interval tertutup tertentu. Sedangkan, yang dimaksud dengan interval tertutup adalah interval dengan batas yang termasuk dalam interior point. Jika interval terbuka menggunakan tanda ketaksamaan (> atau <) tanpa sama dengan, maka dalam interval tertutup tanda ketaksamaan yang digunakan menggunakan sama dengan $(\leq $atau$\geq)$.

Dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada kurva tertutup tertentu belum tentu nilai maksimum atau minimumnya merupakan nilai stasionernya. Nilai stasioner suatu fungsi dalam kurva tertutup tertentu dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu dari nilai-nilai stasionernya atau dari nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertutup itu

Untuk menentukkan nilai maksimum dan nilai minmum suatu fungsi $f$ dalam suatu interval tertutup, dapat dilakukan dengan mengambil langkah-langkah sebagai berikut

Langkah 1
Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval.
Langkah 2
Menentukan nilai fungsi pada batas-batas/ujung-ujung interval.
Langkah 3
Menentukan nilai maksimum dan minimum berdasarkan hasil dari langkah 1 dan langkah 2.

Nantinya, nilai maksimumnya merupakan nilai yang terbesar dari fungsi $f$ dan nilai minimum merupakan nilai yang terkecil dari fungsi $f$. Agar dapat memahaminya dengan baik berikut ini akan disajikan contoh soal mengenai nilai maksimum dan minimum suatu fungsi beserta pembahasannya.

Contoh 1
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f = x^2 - 4x$ dalam interval $-2 \leq x \leq 0$!
Penyelesaian
$f = x^2 - 4x$
$f' = 2x - 4$
$f(x) = 2x - 4$
$f'(x) = 0$
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$

Langkah 1
Nilai stasioner
Dilihat nilai x = 2, tidak ada dalam interval $-2 \leq x \leq 0$
$f (2)= 2^2 - 4(2) = -4$

Langkah 2
Nilai fungsi pada batas-batas interval
$f(-2)= (-2)^2 - 4(-2) = 12$
$f(0) = 0^2 - 4(0) = 0$

Langkah 3
Jadi, nilai maksimumnya adalah 12 dan minimumnya adalah 0 atau ($0 \leq x \leq 12$)

Contoh 2
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ dalam interval $-2 \leq x \leq 3$!
Penyelesaian
$f (x)= 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$
$f'(x) = 6x^2 - 6x^2 - 12$
$f'(x) = 0$
$6x^2 - 6x^2 - 12 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0 $
$(x + 1)(x - 2) = 0$
$x = -1$ atau $x = 2$

Langkah 1
Nilai stasioner
x = -1 dan x = 2 terletak pada interval $-2 \leq x \leq 3$
$f (-1)= 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1$ $= -2 - 3 + 12 + 1 = 8$
$f (2)= 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1$ $ = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$

Langkah 2
Nilai fungsi pada batas-batas interval $-2 \leq x \leq 3
$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 1$ $= -16 - 12 + 24 + 1 = -3$
$f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) + 1$ $= 54 - 27 - 36 + 1 = -8$

Langkah 3
Dilihat dari langkah 1 dan 2,
Jadi, nilai maksimumnya 8 dan nilai minimunnya adalah -19

Penerapan nilai maksimum dan minimum dapat juga kita jumpai pada mata pelajaran lain seperti Fisika, Kimia, dan Ekonomi atau dalam bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Biasanya, nilai maksimum dan minimumnya didapat dari nilai stasioner (nilai balik maksimum atau nilai balik minimum). Berikut ini merupakan contoh soal nilai maksimum dan minimum dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh 3
Sebuah peluru ditembakan ke atas, dalam waktu t detik tinggi peluru dapat dirumuskan dengan $h(t) = 400t - 5t^2$ dalam satuan meter. Tentukanlah nilai t agar tinggi peluru maksimum dan tentukanlah nilai h maksimum tersebut!
Penyelesaian
$h(t) = 400t - 5t^2$
$h'(t) = 400 - 10t$
Agar h maksimum, maka $h'(x) = 0$
$h'(t) = 0$
$400 - 10t = 0$
$10t = 400$
$t = 40$
Nilai h maksimum apabila t = 40
$h(t) = 400(40) - 5(40)^2 = 16000 - 9000 = 7000$
Jadi, nilai t agar tinggi peluru maksimum adalah t = 40 s dengan ketinggian mencapai 7000 m

Contoh 4
Jumlah dua bilangan x dan y adalah 20, hasil kalinya p. Tentukan  hasil yang terbesarnya!
Penyelesaian
$x + y = 20 \to y = 20 - x$
$p = x \cdot y$
Ubah fungsi p dalam x menjadi
$f(x) = x(20 - x)$
$f(x) = 20x - x^2$
$f'(x) = 20 - 2x$

Agar hasil kalinya maksimum maka $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$20 - 2x = 0$
$2x = 20$
$x = 10$
Hasil kali terbesarnya adalah
$f(10) = 10(20 - 10) = 100$
Jadi, hasil kali terbesarnya adalah 20

Contoh 5
Suatu kebun akan dipagari kawat berduri, panjang kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kebun berbentuk persegi panjang. Tentukan ukuran kolam agar terdapat luas yang maksimum dan berapa luas maksimum itu!
Penyelesaian
$2(p + l) = 400$
$p + l = 200$
$l = 200 - p$

$L(p) = p \cdot l$
$L(p) = p(200 - p)$
$L(p) = 200p - p^2$
$L'(p) = 200 - 2p$

Agar luasnya maksimum maka $L'(p) = 0$
$L'(p) = 0$
$200 - 2p = 0$
$2p = 200$
$p = 100$
Untuk $p = 100$, maka didapat
$l = 200 - p$
$l = 200 - 100$
$l = 100$

Luasnya,
$L(p) = p \cdot l = 100 \cdot 100 = 10000$
Jadi, ukuran kolam p = 100 m dan l = 100 m dengan luas maksimum 10000 m$^2$

Demikianlah mengenai nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup, semoga bermanfaat dan dapat dipahami.

Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi dan Jenis-Jenisnya

Aplikasi materi turunan yang sering dibahas di sekolah adalah menentukan nilai stasioner suatu fungsi. Dalam materi fungsi naik dan fungsi turun, telah dibahas jika $f'(x) > 0$ maka fungsi dikatakan naik dan jika $f'(x) < 0$ maka fungsi dikatakan turun. Bagaimana jika ternyata turunan fungsi $f'(x) = 0$?

Dari gambar di atas terlihat jika $f'(x) = 0$ untuk x = a maka gradien garis singgung di titik tersebut adalah 0 (garis singgung sejajar dengan sumbu x). Akibatnya fungsi $f(x)$ tidak naik maupun turun, keadaan inilah dikatakan $f(x)$ mempunyai nilai stasioner di x = a dan nilai stasionernya adalah $f(a)$. Nilai stasioner juga sering disebut dengan nilai kritis atau titik kritis

Dari uraian di atas diperoleh
Jika suatu fungsi $y = f(x)$ kontinu dan diferensiabel di x = a dan $f'(x) = 0$ maka $f(a)$ merupakan nilai stasioner dari fungsi $f(x)$ di x = a dan titik stasionernya adalah (a, f(a)).

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f(x) = x^2 + 2x - 3$!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 + 2x - 3$
$f'(x) = 2x + 2$
Nilai stasioner $f(x)$ diperoleh jika $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = -1$

Nilai stasionernya
$f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$
Jadi, nilai stasioner fungsi $f(x) = x^2 + 2x - 3$ adalah -4 dan titik stasionernya adalah (-1, -4)

Nilai stasioner dalam beberapa fungsi tidak hanya satu atau tunggal, kadang kala kita juga akan mendapatkan dua nilai stasioner pada satu fungsi. Berikut adalah contoh fungsi tersebut

Contoh 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f(x) = x^3 -12x$!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 -12x$
$f'(x) = 3x^2 - 12$
Nilai stasioner $f(x)$ diperoleh jika $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$3x^2 - 12 = 0$
$3(x + 2)(x - 2) = 0$
$x = -2$ atau $x = 2$

Nilai stasionernya
Untuk $x = -2$, $\to f(-2) = (-2)^3 -12(-2) = -8 + 24 = 16$
Untuk $x = 2$, $\to f(2) = (2)^3 -12(2) = 8 - 24 = -16$
Jadi, nilai stasioner fungsi $f(x) = x^3 -12x$ adalah -2 dan 2 serta titik stasionernya adalah (-2, 16) dan (2, -16)

Jika telah memahami nilai stasioner, selanjutnya akan dibahas mengenai jenis-jenis nilai stasioner.


Jenis-Jenis Nilai Stasioner

Terdapat tiga jenis nilai stasioner dari suatu fungsi, pertama nilai balik maksimum, nilai balik minimum dan nilai belok. Ketiga jenis nilai stasioner ini dapat digambarkan dalam grafik berikut

Nah pertanyaannya bagaimanakah caranya agar kita tahu suatu nilai stasioner suatu fungsi tersebut merupakan nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau nilai belok? Jika kita mengamati grafik yang disajikan maka, hal itu dapat dilakukan melalui perubahan nilai $f'(x)$ dari fungsi $f(x)$ dalam interval di kiri x < a, x = a, dan x > a. Dengan demikian kita akan mendapatkan

Jika perubahan nilai  $f'(x)$ dari positif, nol, kemudian negatif maka nilai stasioner di x = a tersebut adalah nilai balik maksimum
Jika perubahan nilai  $f'(x)$ dari negatif, nol, kemudian positif maka nilai stasioner di x = a tersebut adalah nilai balik minimum
Jika perubahan nilai  $f'(x)$ dari positif, nol, kemudian kembali positif atau dari negatif, nol, dan kembali negatif maka maka nilai stasioner di x = a tersebut adalah nilai belok

Agar lebih memahaminya, berikut ini akan disajikan contoh soal dan pembahasanya

Contoh 3
Tentukan nilai stasioner dari fungsi $f(x) = x^2 + 6x + 5$ beserta jenis nilai stasionernya!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 + 6x + 5$
$f'(x) = 2x + 6$
Nilai stasioner $f(x)$ diperoleh jika $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$2x + 6 = 0$
$2x = -6$
$x = -3$
Untuk mengetahui jenis nilai stasionernya dapat ditentukan dengan memeriksa nilai-nilai $f'(x)$ di sekitar $x = -3$, yang diperlihatkan oleh tabel berikut.

Karena perubahan nilai $f'(x)$ dari negatif, nol, kemudian positif, maka nilai stasionernya termasuk nilai balik minimum

Contoh 4
Tentukan nilai stasioner dari fungsi $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ beserta jenis nilai stasionernya!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$
$f'(x) = 3x^2 - 6x$
Nilai stasioner $f(x)$ diperoleh jika $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 6) = 0$
$x = 0$ atau $x = 6$Untuk mengetahui jenis nilai stasionernya dapat ditentukan dengan memeriksa nilai-nilai $f'(x)$ di sekitar $x = 0$ dan $x = 6$, yang diperlihatkan oleh tabel berikut.

Karena perubahan nilai $f'(x)$ untuk nilai stasioner $x = 0$ dari positif, nol, kemudian negatif, maka nilai stasionernya termasuk nilai balik maksimum
Karena perubahan nilai $f'(x)$ untuk nilai stasioner $x = 6$ dari negatif, nol, kemudian positif, maka nilai stasionernya termasuk nilai balik minimum

Demikianlah mengenai nilai stasioner suatu fungsi beserta jenis-jenisnya. Semoga dapat dipahami dan bermanfaat.