Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soalnya

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang penjumlahanya sampai suku tak hingga. Deret geometri sendiri merupakan deret yang mempunyai perbandingan suku-suku berurutan tetap atau yang lebih dikenal sebagai rasio. Selain deret geometri ada pula deret aritmetika, bedanya dengan deret geometri apabila deret geometri mempunyai rasio deret aritmetika mempunyai beda (b) yang merupakan selisih suku yang berurutan dan akan bernilai tetap pada suku-suku yang berurutan lainnya.
Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soalnya

Fokus kita pada bahasan kali ini adalah mengenai deret geometri tak hingga. Meskipun deret ini memiliki suku mencapai tak hingga kita masih dapat mencari jumlah keseluruhannya secara pasti. Namun, tidak semua deret geometri tak hingga dapat kita tentukan jumlahnya. Dilihat dari rasionya (r) deret geometri tak hingga dapat dibedakan menjadi dua yaitu deret geometri konvergen dan deret geometri tak hingga divergen

Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Sebelum membahas mengenai rumus jumlah deret geometri tak hingga, kita harus pahami terlebih dahulu deret geometri tak hingga konvergen dengan deret geometri tak hingga divergen. Pada dasarnya keduanya memiliki perbedaan pada rasionya. Deret konvergen memiliki interval rasio -1 < r < 1 atau dapat ditulis juga |r| < 1 (tanda mutlak r). Sedangkan deret divergen mempunyai rasio r < -1 atau r > 1 (|r | > 1).
  1. Deret geometri tak hingga kovergen memiliki rasio dengan interval -1 < r < 1 serta memiliki limit jumlah (dapat dihitung jumlanya)
  2. Deret geometri tak hingga divergen memiliki rasio r < -1 atau r > 1, tidak memiliki limit jumlah atau tidak diketahui berapa jumlah pastinya dan sering dikatakan jumlahnya tak hingga ($\infty$)
Dari penjelasan di atas, sekarang akan dilanjutkan dengan bahasan mengenai rumus deret geometri tak hingga konvergen. Misalkan U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + ....... merupakan deret geometri tak hingga konvergen dimana -1 < r < 1, U$_{1}$ = a merupakan suku pertamanya dan $S_{\infty}$ merupakan jumlahnya maka
$S_{\infty} =  \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$
Karena r bernilai -1 < r < 1 maka apabila dipangkatkan tak hingga akan menghasilkan bilangan yang sangat kecil atau mendekati nol sehingga diperoleh
$S_{\infty} = \dfrac{a(1-0)}{1 -r}$
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 -r}$
Jadi, untuk menentukan jumlah suatu deret geometri tak hingga konvergen dapat menggunakan rumus
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
Dengan $S_{\infty}$ merupakan jumlah deret geometri tak hingga, a adalah suku pertama deret, dan r merupakan rasio deret tersebut dengan syarat -1 < r < 1. Sedangkan pada deret divergen
$S_{\infty} =  \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$
Karena r bernilai r < -1 atau r > 1 maka apabila dipangkatkan tak hingga akan menghasilkan bilangan tak hingga ($\pm$). Sehingga diperoleh hasil
$S_{\infty} = \dfrac{a(1\pm \infty)}{1 -r}= $$\pm \infty$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasan deret geometri tak hingga berikut!
Contoh 1
Tentukan jumlah deret tak hingga dari 16 + 8 + 4 + 2 + ......
Jawab
16 + 8 + 4 + 2 + ......
a = 16
r = $\frac{1}{2}$ merupakan deret konvergen
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$S_{\infty} = \dfrac{16}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_{\infty} = \dfrac{16}{\frac{1}{2}}$
$S_{\infty} = 32 $

Contoh 2
Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya adalah $\frac{1}{3}$, nilai suku pertamanya adalah ...
Jawab
$S_{\infty} = 12 $
r = $\frac{1}{3}$
$\dfrac{a}{1 -  \frac{1}{3}} = 12 $
$\dfrac{a}{\frac{2}{3}} = 12 $
$a = 12 \times \frac{2}{3} $
$a = 8$

Contoh 3
Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 24. Jika suku pertamanya adalah 8, maka rasionya adalah ...
Jawab
$S_{\infty} = 24 $
a = 8
$\dfrac{8}{1 -  r} = 24 $
$8 = 24 - 24r$
$ -16 = -24r$
$24r = 16$
$r = \frac{16}{24}$
$r = \frac{2}{3}$

Contoh 4
Tentukan nilai x agar deret geometri (x - 2) + (x -2)$^2$ + (x - 2)$^3$ + .... merupakan deret konvergen!
Jawab
1 + (x - 2) + (x -2)$^2$ + (x - 2)$^3$ + ....
r = x - 2
Syarat konvergen -1< r < 1
-1 < x - 2< 1
-1 + 2 < x < 1+2
1 < x < 3

Contoh 5
Jika suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 6, maka nilai a yang memenuhi deret geometri tersebut adalah ....
Jawab
$S_{\infty} = 6 $
$\dfrac{a}{1 -  r} = 6 $
$a = 6 - 6r$
$a - 6 = -6r$
$r = \dfrac{a - 6}{-6}$
$r = \dfrac{6 - a}{6}$
Karena memiliki jumlah maka r bernilai -1 < r < 1
$-1 < \dfrac{6 - a}{6} < 1$
$-6 < 6 - a < 6$
$-12 < -a < 0$
$12 > a > 0$ (dikali -1 maka tanda dibalik)
$0 < a < 12$
Jadi, nilai a berada pada interval 0 < a < 12

Contoh 6
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 3 + 6 + 12 + 24 + ...
Jawab
3 + 6 + 12 + 24 + ...
a = 3
r = 2
Karena nilai r > 1, maka deret ini merupakan deret divergen yang jumlah tak hingganya adalah $\infty$

Suku Genap dan Suku Ganjil Pada Deret Geometri Tak Hingga

Dalam setiap deret tentu memiliki suku-suku genap dan suku-suku ganjil. Misalkan pada deret
U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + U$_{4}$ + U$_{5}$ + U$_{6}$ +.......
Deret di atas memiliki deret suku ganjil
U$_{1}$ + U$_{3}$ + U$_{5}$ + U$_{7}$ + U$_{9}$ + U$_{11}$ +.......
Dan deret suku genapnya adalah
U$_{2}$ + U$_{4}$ + U$_{6}$ + U$_{8}$ + U$_{10}$ + U$_{12}$ +.......
Pada deret geometri tak hingga juga sama yaitu
$S_{\infty} =$ U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + U$_{4}$ + U$_{5}$ + U$_{6}$ +.......
$S_{\infty} =$ (U$_{1}$ + U$_{3}$ + U$_{5}$+.......) + (U$_{2}$ + U$_{4}$ + U$_{6}$+.......)
$S_{\infty} =$ $S_{\infty ganjil}$ + $S_{\infty genap}$
Dengan demikian
$S_{\infty ganjil} = a + ar^{2} + ar^{4} + ar^{6} + .......$
$S_{\infty genap} = ar + ar^{3} + ar^{5} + ar^{7} + .......$
Jika dilihat pada deretnya, deret suku ganjil mempunyai suku pertama U1 atau a dan rasionya adalah r$^{2}$. Dengan demikian diperoleh rumus jumlah deret tak hingga suku ganjil
$S_{\infty ganjil} = \dfrac{a}{1-r^{2}}$
Sedangkan untuk suku genap memiliki suku pertama ar dan rasionya r$^{2}$, maka diperoleh rumus jumlah tak hingganya
$S_{\infty genap} = \dfrac{ar}{1-r^{2}}$

Dari dua rumus di atas kita juga mendapatkan cara untuk menemukan rasio pada deret geometri tak hingga. Apabila diketahui $S_{\infty ganjil}$ sebagai jumlah suku-suku ganjil suatu deret geometri tak hingga dan $S_{\infty genap}$ sebagai jumlah suku-suku genapnya maka perbandingan suku genap dan suku ganjil merupakan rasio dari deret geometri tak hingga tersebut. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
$\dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}} $$= \dfrac{\frac{ar}{1-r^{2}}}{\frac{a}{1-r^{2}}}$
$=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \cdot \dfrac{1-r^{2}}{a}$
$= \dfrac{ar}{a}$
$= r$
Jadi, diperoleh cara lain untuk menentukan rasio suatu deret geometri tak hingga adalah
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 7
Jika jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 32 dan jumlah semua suku genapnya adalah 18, maka rasio dari deret geometri tersebut adalah ...
Jawab
$S_{\infty}$ = 32
$S_{\infty genap}$ = 14
$S_{\infty ganjil}$ =32 - 14 = 18
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$
$r = \dfrac{14}{18}$
$r = \dfrac{7}{9}$

Contoh 8
Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang ganjil adalah 64, suku ke-3 deret tersebut adalah...
Jawab
$S_{\infty}$ = 96
$S_{\infty ganjil}$ = 64
$S_{\infty genap}$ = 96 - 64 = 36
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$
$r = \dfrac{36}{64}$
$r = \dfrac{9}{16}$

$S_{\infty} = 96 $
$\dfrac{a}{1 -  \frac{9}{16}} = 96 $
$\dfrac{a}{\frac{7}{16}} = 96 $
$a = 96 \times \frac{7}{16} $
$a = 42$

$U_{n} = ar^{n-1}$
$U_{3} = 42 (\dfrac{9}{16})^{3-1}$
$U_{3} = 42 (\dfrac{81}{256})$
$U_{3} = \dfrac{1701}{128}$

Penggunaan Deret Geometri Tak Hingga

Penggunaan deret geometri tak hingga salah satunya pada masalah menghitung panjang lintasan dari pantulan bola. Ada dua kondisi masalah yang biasa digunakan dalam soal yaitu bola yang dilempar ke atas dan memantul sampai berhenti dan bola yang dijatuhkan dari atas dan memantul sampai berhenti. Tentu saja hasil yang didapat tidak seakurat seperti kenyataanya, namun setidaknya perhitungan ini telah mendekati.

Bola dilempar ke atas
Aplikasi deret geometri tak hingga bola dilempar
Misalkan sebuah bola dilempar ke atas dengan ketinggian a dan jatuh memantul r dari tinggi sebelumnya. Jika kondisinya adalah bola dilempar ke atas dan memantul sampai berhenti, maka panjang lintasannya dapat kita hitung menggunakan deret geometri tak hingga. Namun, ada beberaa kondisi yang harus kita pahami terlebih dahulu. Apabila bola dilempar ke atas dan memantul hingga berhenti, maka bola akan melewati dua kali lintasan yang sama pada saat naik dan turun. Sehingga rumus yang digunakan untuk menghitungnya adalah
$PL = 2S_{\infty}$
$PL = 2\dfrac{a}{1-r}$
Dengan 
PL = panjang lintasan bola

Bola dijatuhkan dari atas
Aplikasi deret geometri tak hingga bola dijatuhkan
Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian a dan memantul r dari tinggi sebelumnya. Kasus ini sama saja kita menghitung panjang lintasan bola dilempar namun pada saat kita tidak ikut menghitung panjang lintasan pada saat bola dilempar ke atas. Sehingga untuk mendapatkan panjang lintasan bola yang dijatuhkan kita dapat menggunakan rumus
$PL = 2\dfrac{a}{1-r} - a$
Dengan 
PL = panjang lintasan bola

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal mengenai panjang lintasan bola yang memantul hingga berhenti berikut

Contoh 9
Sebuah bola tenis meja dilemparkan ke atas dan mencapai ketinggian 4 meter. Setiap bola sampai pada daratan bola memantul tiga perempat kali dari ketinggian sebelumnya. Panjang lintasan yang dilalui bola tenis meja yang memantul sampai berhenti adalah ...
Jawab
$PL = 2\dfrac{a}{1-r}$
$PL = 2\dfrac{4}{1-\frac{3}{4}}$
$PL = 2\dfrac{4}{\frac{1}{4}}$
$PL = 2(4 \cdot \frac{4}{1})$
$PL = 32$ m
Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola tenis meja yang memantul sampai berhenti adalah 32 m

Contoh 10
Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 5 meter dan memantul sampai berhenti. Apabila ketinggian yang dicapai saat memantul tiga per lima kali tinggi sebelumnya, maka panjang lintasan yang dilalui bola pingpong sampai berhenti adalah ...
Jawab
$PL = 2\dfrac{a}{1-r} - a$
$PL = 2\dfrac{5}{1-\frac{3}{5}} - 5$
$PL = 2\dfrac{5}{\frac{2}{5}} - 5$
$PL = 2(5 \cdot \frac{5}{2}) - 5$
$PL = 25 - 5$
$PL = 20$
Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola pingpong sampai berhenti adalah 20 m

Demikianlah mengenai deret geometri tak hingga dan contoh soalnya, semoga bermanfaat

Mengenal Korespondensi Satu-Satu dan Contoh Soalnya

Setelah sebelumnya kita mempelajari tentang relasi dan fungsi pada bahasan kali ini kita akan membahas mengenai korepondensi satu-satu. Korespondesi satu-satu masih berkaitan dengan relasi dan fungsi. Korespondensi sendiri diajarkan pada siswa yang masih duduk dijenjang SMP.

Korespondensi satu-satu misalkan pada himpunan A ke himpunan B merupakan relasi yang memasangkan setiap anggota A tepat satu pasangan dengan anggota himpunan B, begitu juga setiap anggota himpunan B juga harus memiliki pasangan tepat satu dengan himpunan A. Dengan demikian sangat jelas perbedaan antara relasi, fungsi, dan korespondensi satu-satu. Relasi merupakan hubungan yang memasangkan dua buah anggota himpunan, fungsi merupakan relasi yang mensyaratkan semua anggota derah asal memiliki pasangan tepat satu dengan himpunan daerah lawan. Sedangkan korespondensi satu-satu mensyaratkan setiap anggota pada kedua himpunan daerah asal dan daerah lawan memiliki pasangan tepat satu.

Suatu korespondensi satu-satu juga dapat dikatakan sebagai fungsi dan relasi, namun belum tentu sebuah fungsi mupun relasi dapat dikatakan sebagai korespondensi satu-satu. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh relasi, fungsi, dan korespondensi satu-satu yang dinyatakan dalam diagram panah berikut
contoh relasi, fungsi, dan korespondensi satu-satu

Dengan demikian sebagai syarat mutlak dari dua himpunan memungkinkan untuk membentuk sebuah korespondensi satu-satu adalah jumlah anggotanya harus sama baik anggota daerah asal maupun daerah lawan. Untuk menghitung jumlah atau banyaknya korespondensi yang dapat dibentuk dari dua himpunan yang memiliki jumlah anggota yang sama misalkan n anggota dapat menggunakan rumus

n x (n-1) x (n-2) x .....x 3 x 2 x 1 atau sering dinotasikan dengan n! (dibaca n faktorial)

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!

Contoh 1
Diketahui A = {himpunan huruf pembentuk kata CERIA} dan B = {himpunan huruf vokal}. Berapakah banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk dari himpunan A dan himpunan B?
Jawab
A = {C, E, R, I, A}
n(A) = 5
B = {a, i, u, e, o}
n(B) = 5
Banyak korespondensi satu-satu = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Jadi, banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk oleh himpunan A dan himpunan B adalah 120 buah

Contoh 2
Diketahui C = {x | -2 < x < 3, x bilangan bulat} dan D = {x | x < 5, x bilangan asli}. Dari himpunan C dan D apakah mungkin dibentuk korespondensi satu-satu? Jika dapat, berapa banyaknya?
Jawab
C = {-1, 0, 1, 2}
n(C) = 4
D = {1, 2, 3, 4}
n(D) = 4
Karena n(C) = n(D) = 4, himpunan C dan D dapat membentuk korespondesi satu-satu
Banyak korespondesi satu-satu = 4 x 3 x  2 x 1 = 24
Jadi, banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk oleh himpunan C dan himpunan D adalah 24 buah

Demikianlah bahasan tentang korespondensi satu-satu beserta contoh soalnya, semoga bermanfaat.

Mengenal Fungsi atau Pemetaan dan Contoh Soalnya

Relasi dari dua himpunan misalkan himpunan A dan himpunan B merupakan hubungan yang memasangkan anggota A dan anggota B. Dalam relasi dikenal pula istilah pemetaan atau fungsi. Fungsi dalam hal ini bukan kegunaan suatu benda melainkan fungsi masih ada kaitannya antara hubungan antara dua himpunan
Mengenal Fungsi atau Pemetaan dan Contoh Soalnya

Pengertian Fungsi

Fungsi dalam matematika dikenal pula dengan sebutan pemetaan. Fungsi atau pemetaan dari suatu himpunan misalkan himpunan A ke himpunan B merupakan relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A tepat satu pasangan dengan anggota himpunan B. Disini ditekankan kata setiap dan tepat satu pasangan, ini berarti setiap anggota himpunan A tanpa terkecuali harus memiliki hanya satu pasanga dengan anggota himpunan B. Sedangkan untuk anggota himpunan B tidak berlaku aturan tersebut, dengan kata lain mungkin saja anggota B memiliki pasangan lebih dari satu pasangan dengan anggota himpunan A atau terdapat anggota himpunan B yang tidak memiliki pasangan.

Contoh 1
Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B ={1, 4, 9, 16, 25}. Jika relasi dari himpunan A ke B merupakan relasi "akar kuadrat dari". Nyatakan relasi tersebut dengan diagram panah dan apakah relasi tersebut dapat dikatakan sebagai fungsi?
Jawab
A = {1, 2, 3, 4}
B ={1, 4, 9, 16, 25}
diagram panah fungsi
Relasi himpunan A ke himpunan B merupakan fungsi karena setiap anggota A memiliki pasangan tepat satu dengan anggota himpunan B

Pada dasarnya setiap fungsi merupakan sebuah relasi, namun untuk setiap relasi belum tentu merupakan sebuah fungsi. Untuk membedakan relasi yang merupakan fungsi dan bukan fungsi sebenarnya sangat mudah. Kita lihat saja anggota yang menjadi daerah asal, jika setiap anggota yang menjadi daerah asal telah memiliki pasangan dan tepat satu dengan anggota daerah kawannya maka dapat dikatakan relasi tersebut fungsi dan jika tidak maka bukan fungsi.

Dalam beberapa kasus tertentu kita sering dihadapkan pada masalah fungsi dan bukan fungsi. Misalkan kita dihadapkan pada soal-soal yang biasanya relasi tersbut dapat dinyatakan dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, maupun grafik cartesius. Untuk membedakan relasi yang merupakan fungsi dan bukan fungsi pada diagram panah tinggal dilihat daerah asalnya yang biasanya dibuat pada kurva yang di sebelah kiri, pastikan setiap anggotanya telah memiliki pasangan dan tepat hanya satu saja.Pada himpunan pasangan berurutan, biasanya anggota daerah asal ditulis di sebelah kiri pada setiap pasangan. Jadi, jika anggota daerah asal tersebut ditulis lbih dari satu kali maka sudah dapat dipastikan itu bukan fungsi. Sedangkan pada grafik cartesius, kita harus pahami jika anggota pada sumbu x merupakan daerah asal dan kita tinggal lihat apakah setiap anggota daerah asal telah memiliki satu pasangan saja atau tidak dengan kata lain tidak ada lebih dari satu titik yang segaris secara vertikal. Biasanya grafik-grafik berupa lingkaran sudah dapat dikatakan bukan merupakan sebah fungsi

Contoh 2
Manakah diantara himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan sebuah fungsi
(i) {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 2)}
(ii) {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3)}
(iii) {(3, 5), (4, 6), (6, 7), (8, 9)}
(iv) {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Jawab
(i) {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 2)} merupakan fungsi
(ii) {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3)} merupakan relasi/bukan fungsi
(iii) {(3, 5), (4, 6), (6, 7), (8, 9)} merupakan fungsi
(iv) {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)} merupakan relasi/bukan fungsi
Jadi, impunan pasangan berurutan berikut yang merupakan sebuah fungsi ditunjukkan oleh nomor (i) dan (iii)

Notasi dan Istilah dalam Fungsi

Fungsi atau pemetaan umunya dinotasikan dengan
f : x $\rightarrow$ y
yang dibaca fungsi f memetakan x ke y. Dimana peta dari x adalah y, selanjutnya fungsi tersebut dirumuskan dengan f(x) = y. Dalam fungsi dikenal beberapa istilah seperti domain, kodomain, range, dan bayangan atau peta. Sekarang, perhatikan kembali diagram panah pada contoh 1!

Diagram panah di atas merupakan sebuah fungsi. Yang dapat dikatakan domain atau daerah asal adalah semua anggota himpunan A ={1, 2, 3, 4}. Kodomain atau daerah lawan/kawan adalah anggota semua anggota himpunan B = {1, 4, 9, 16, 25}. Sedangkan range adalah anggota kodomain yang memiliki pasangan dengan anggota domain dalam hal ini adalah {1, 4, 9, 16}

Menentukan Nilai Fungsi dan Rumus Fungsi

Untuk menentukan nilai suatu fungsi kita tinggal substitusi atau ganti variabel pada rumus fungsi dengan anggota domainnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 3
Diketahui fungsi f dinotasikan dengan f : x $\rightarrow$ 2x + 3. Jika diketahui domain dari fungsi f adalah {0, 1, 2, 3} dan kodomainya adalah bilangan bulat. Tentukan
a. Rumus fungsi f
b. Daerah hasil f
c. Tentukan nilai x jika f(x) = 17
d. Tentukan nilai a jika f(a) = -1
Jawab
a. f(x) = 2x + 3
b. f(x) = 2x + 3
f(0) = 2(0) + 3 = 3
f(1) = 2(1) + 3 = 5
f(2) = 2(2) + 3 = 7
f(3) = 2(3) + 3 = 9
Daerah hasil = {3, 5, 7, 9}
c. f(x) = 17
2x + 3 = 17
2x = 17 - 3
2x = 14
x = 7
d. f(a) = -1
2a + 3 = -1
2a = -1 - 2
2a = -4
a = -2

Contoh 4
Jika diketahui fungsi g(x) = ax + b dengan g(2) = 4 dan g(-3) = -11, tentukan
a. Nilai a dan b
b. Rumus fungsi g
c. Peta dari 3
Jawab
a. g(x) = ax + b
g(2) = 4 maka 2a + b = 4
g(-3) = -11 maka -3a + b = -11
Eliminasi b
2a + b = 4
-3a + b = -11  -
5a = 15
a = 3
Substitusi a = 3 ke 2a + b = 4
2(3) + b = 4
6 + b = 4
b = 4 - 6
b = -2
Jadi, nilai a = 3 dan b = -2
b. g(x) = 3x - 2
c. g(x) = 3x -2
g(3) = 3(3) - 2 = 7
Jadi, peta dari 3 adalah 7

Menentukan Banyaknya Fungsi yang Dapat Dibuat dari Dua Himpunan

Untuk menentukkan banyaknya suatu fungsi yang mungkin dapat dibuat dari dua himpunan kita dapat menggunakan sebuah rumus. Misalkan himpunan A dan himpunan B dengan jumlah anggota A adalah n(A) dan jumlah anggota himpunan B adalah n(B), banyaknya fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang dapat dibuat adalah
A ke B = n(B)$^{n(A)}$
Sedangkan, banyaknya pemetaan dari himpunan B ke himpunan A yang dapat dibuat adalah
B ke A = n(A)$^{n(B)}$

Contoh 5
Diketahui himpunan A = {himpunan pembentuk kata CERIA} dan himpunan B = {bilangan prima kurang dari 10}. Tentukan banyaknya
a. Pemetaan dari himpunan A ke B
b. Pemetaan dari himpunan B ke A
Jawab
A ={ C, E, R, I, A}
n(A) = 5
B = {2, 3, 5, 7}
n(B) = 4
a. A ke B = n(B)$^{n(A)}$ = 4$^{5}$ = 1024
b. B ke A = n(A)$^{n(B)}$ = 5$^{4}$ = 625

Menggambar Grafik Fungsi

Untuk menggambar grafik suatu fungsi pada bidang carteius, kita tinggal menentukan beberapa titik sembarang atau nilai x. Setelah menentukan nilai x, kemudian buat tabel bantu yang akan kita gunakan sebagai acuan dalam menggambar grafik. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 6
Buatlah gambar grafik fungsi f(x) = 3x - 1 dengan domain dan kodomain merupakan bilangan real!
Jawab
f(x) = 3x - 1
Tabel fungsi
tabel fungsi

Grafik fungsi
contoh grafik fungsi

Demikianlah mengenai fungsi atau pemetaan, semoga bermanfaat.

Pengertian Relasi, Cara Menyatakan Relasi dan Contoh Soalnya

Relasi dalam KBBI online memiliki arti  hubungan, perhubungan, atau pertalian. Dalam matematika sendiri relasi antara dua himpunan misalkan himpunan A dan himpunan B merupakan hubungan yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Sebagai contohnya misalkan dalam suatu kelas dilakukan pendataan mengenai ekstra kurikuler yang dipilih Andre memilih ekstra basket, Dudi memilih ekstra badminton, Tina memilih ekstra renang, Hilda memilih ekstra musik, dan Anton memilih ekstra sepak bola dan basket . Dari keterangan tersebut maka kita dapat mengelompokannya kedalam dua himpunan yaitu himpunan siswa dan himpunan ekstrakurikuler. Dan relasi yang sesuai dengan hal tersebut adalah relasi "memilih ekstra". Relasi tersebut dapat digambarkan ke dalam diagram panah berikut
Pengertian Relasi, Cara Menyatakan Relasi dan Contoh Soalnya

Relasi dapat dinyatakan dalam tiga cara yaitu dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan diagram kartesius.

Menyatakan Relasi dengan Diagram Panah

Diagram panah digambarkan dengan kurva tertutup, untuk menunjukkan hubungan antara dua himpunan dalam diagram ini ditunjukkan dengan adanya panah antara anggota himpunan yang satu dengan yang lainnya.

Contoh 1
Misalkan A ={ himpunan bilangan genap yang kurang dari 8} dan B = {3, 4, 5, 7}. Jika relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi "kurang dari". Nyatakan relasi tersebut dengan menggunakan diagram panah!
Jawab
A = {2, 4, 6}
B = {3, 4, 5, 7}
Diagram panah
Menyatakan Relasi dengan Diagram Panah

Menyatakan Relasi dengan Himpunan Pasangan Berurutan

Cara lain yang dapat digunakan untuk menyatakan sebuah relasi adalah dengan cara himpunan pasangan berurutan. Dalam hal ini setiap pasangan antara anggota dari dua himpunan ditulis secara mendaftar. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!

Contoh 2
Misalkan C ={x| x < 7, x adalah bilangan ganjil} dan D = {2, 4, 6, 8, 10}. Jika relasi antara himpunan C ke himpunan D adalah relasi "faktor dari". Nyatakan relasi himpunan C ke himpunan D dengan himpunan pasangan berurutan!
Jawab
C= {1, 3, 5 }
D= {2, 4, 6, 8, 10}
Relasi C ke D adalah "faktor dari"
Himpunan pasangan berurutan = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (1, 10), (3, 6), (5, 10)}

Menyatakan Relasi dengan Diagram Cartesius

Diagram Cartesius digambarkan dengan dua sumbu vertikal (sumbu y) dan sumbu horisontal (sumbu x) serta titik potong dari kedua sumbu O(0, 0) menjadi titik pusat dari diagram cartesius.

Contoh 3
Diketahui himpunan A = {6, 8, 10, 12, 14} dan B adalah himpunan bilangan prima yang kurang dari 10 . Jika relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi "kelipatan dari", nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B dengan diagram cartesius!
Jawab
A = {6, 8, 10, 12, 14}
B = {2, 3, 5, 7}
Diagram cartesius
Menyatakan Relasi dengan Diagram Cartesius

Berikutnya akan disajikan beberapa contoh soal lainnya terkait dengan relasi dari dua himpunan

Contoh 4
Perhatikan diagram panah berikut relasi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B adalah ...
diagram panah
Jawab
"Kuadrat dari"

Contoh 5
Diketahui himpunan pasangan berurutan = {(London, Inggris), (Beijing, China), (Tokyo, Jepang), (Ottawa, Kanada), (Manila, Filipina)}. Relasi yang mungkin dari himpunan pasangan berurutan tersebut adalah ....
Jawab
"Ibukota dari"

Demikianlah mengenai pengertian relasi, cara menyatakan relasi dan contoh soalnya. Semoga bermanfaat.

Cara Menghitung Persen dan Contoh Soal Menghitung Persen

Persen atau persentase (Percentage) merupakan perbandingan suatu bilangan dengan 100. Persen dinotasikan dengan tanda "%". Sebagai contoh 50% artinya sama dengan 50 per 100. Persentase juga digunakan untuk menyatakan kandungan dari keseluruhan sesuatu.
Cara Menghitung Persen dan Contoh Soal Menghitung Persen

Dalam kehidupan sehari-hari istilah persen dapat kita jumpai pada lingkungan jual beli seperti pasar, toko, pusat perbelanjaan, mal dan lainnya. Persen digunakan untuk menyatakan diskon suatu produk, cash back, serta uang muka suatu barang. Persentase juga bisa menyatakan kandungan suatu zat dalam suatu produk dan masih banyak lagi penggunaan persen yang dapat kita jumpai.

Rumus Menghitung Persen

Untuk menghitung persen kita harus tahu berapa nilai bagian yang akan dihitung persennya dan total keseluruhan nilai. Rumus yang dapat digunakan untuk menghitung persen adalah bagian yang ingin diketahui persennya per total keseluruhan nilai dan hasilnya dikali 100 persen atau dapat dirumuskan sebagai berikut
$Persen = \dfrac{bagian}{keseluruhan} \times 100 \%$

Contoh 1
Dalam sebuah wadah terdapat 500 butir kelereng. Jika Adi mengambilnya 100 buah berapakah persentase kelereng yang diambil oleh Adi?
Jawab:
$Persen = \dfrac{100}{500} \times 100 \%$ $ = \dfrac{10000}{500}\% = 20 \%$

Contoh 2
Paman dan Ayah mencoba untuk membuka sebuah bisnis dengan bekerja sama. Paman mengeluarkan modal sebesar Rp1.000.000 dan Ayah mengeluarkan modal Rp3.000.000. Berapa persen modal yang dikeluarkan Paman dari total keseluruhan modal?
Jawab
Modal Paman = Rp1.000.000
Modal Ayah = Rp3.000.000
Modal Keseluruhan = Rp4.000.000
Persentase Modal Paman $=\dfrac{1000000}{4000000} \times 100 \% $$= 25 \%$


Menghitung Persentase Untung dan Persentase Rugi

Persen dapat juga digunakan untuk menyatakan untung maupun rugi. Untuk menghitung persentase untung maupun rugi kita harus tahu nilai untung atau rugi suatu barang serta berapa harga totalnya. Rumus yang digunakan untuk menghitung persentase untung atau rugi adalah

Persentase Untung $= \dfrac{Untung}{Harga Beli} \times 100 \%$
Persentase Rugi $= \dfrac{Rugi}{Harga Beli} \times 100 \%$

Untuk mendapatkan untung maupun rugi kita dapat menggunakan rumus
Untung = Harga Jual - Harga Beli
Rugi = Harga Beli - Harga Jual
Untung merupakan kondisi dimana harga jual lebih tinggi dibandingkan modal yang dikeluarkan untuk membeli suatu barang. Sedangkan rugi adalah keadaan dimana harga jual lebih rendah dibandingkan harga beli suatu barang. Berikut adalah contoh menghitung persentase untung dan rugi

Contoh 3
Seorang pedagang membeli sepeda bekas dengan harga Rp500.000, kemudian ia membersihkan sepeda tersebut dan berhasil menjualnya kembali dengan harga Rp700.000. Berapa persen keuntungan yang diperoleh oleh pedagang tersebut?
Jawab
Untung = 700.000 - 500.000 = 200.000
Persentase Untung $= \dfrac{200000}{500000} \times 100 \% = 40 \%$
Jadi, persentase keuntungan yang diperoleh pedagang adalah 40 %

Contoh 4
Indah membeli sebuah baju dengan harga Rp80.000. Karena tergesa-gesa ia tidak melihat ukuran baju tersebut dan ternyata ukurannya tidak pas. Kemudian ia niat menjualnya kembali meskipun harganya lebih rendah dari harga belinya dan ternyata ia berhasil menjualnya dengan harga Rp75.000. Berapakah persentase kerugian yang dialami Indah?
Jawab
Rugi = 80.000 - 75.000 = 5.000
Persentase Rugi $= \dfrac{5000}{80000} \times 100 \% = 6,25 \%$
Jadi, persentase kerugian yang dialami Indah adalah 6,25 %


Menghitung Besar Diskon dari Persentase Diskon

Sering kali di pusat-pusat perbelanjaan kita jumpai tulisan diskon dalam bentuk persentase. Untuk menghitung besar nilai diskon yang kita peroleh caranya sangat mudah yaitu tinggal dikali antara persentase dengan harga barang. Contohnya jika harga suatu barang adalah Rp100.000 dan diberikan diskon 25% maka kita memperoleh diskon sebesar $dfrac{25}{100} \times 100000 = 25000$. Dengan kata lain, uang yang harus dibayarkan adalah 100.000 - 25.000 = Rp75.000

Mengubah Pecahan ke Persen dan Persen ke Pecahan

Dalam pelajaran pecahan di SD kita dihadapkan pada masalah-masalah mengubah pecahan ke persen atau mengubah persen ke pecahan. Untuk melakukan kedua itu tentunya sangat mudah jika kita telah menguasai penyederhanaan bentuk pecahan atau perkalian dan pembagian.

Mengubah Pecahan ke Persen
Untuk mengubah pecahan ke persen caranya adalah tinggal kalikan saja pecahan tersebut dengan 100%.
Contoh 5
Ubahlah pecahan berikut menjadi persen
a. $\dfrac{3}{5}$
b. 0,45
c. $2\dfrac{1}{5}$
Jawab
a. $\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{5} \times 100\% = 60\%$
b. 0,45
$0,45 = 0,45 \times 100% = 45 \%$
c. $2\dfrac{1}{5}$
$2\dfrac{1}{5} = \dfrac{11}{5} \times 100\% = 220 \%$

Mengubah Persen ke Pecahan
Untuk mengubah persen ke pecahan dapat dilakukan dengan cara menjadikan bentuk persen menjadi pecahan per 100 dan menyederhanakanya menjadi pecahan biasa atau bentuk desimal sesuai dengan yang diminta.
Contoh 6
Ubahlah bentuk persen berikut menjadi pecahan biasa
a. 35%
b. 125%
Jawab
a. 35%
35% = $\dfrac{35}{100} = \dfrac{7}{20}$
b. 125%
125% =$\dfrac{125}{100} = \dfrac{5}{4}$

Contoh 7
Ubahlah bentuk persen berikut menjadi pecahan desimal
a. 15,5%
b. 175 %
Jawab
a. 15,5%
15,5% = $\dfrac{15,5}{100} = 0,155$
b. 175%
175% = $\dfrac{175}{100} = 1,75$

Menghitung Persen dari Suatu Bilangan Terhadap Bilangan Lain atau Sebaliknya

Menghitung persen dari suatu bilangan terhadap bilangan lain biasanya kita temui pada soal-soal tes masuk kerja atau tes CPNS. Soal jenis ini termasuk soal tes Aritmatik atau Intelejensi Umum. Soal-soal ini sebenarnya mudah tetapi perlu kecermatan dan kecepatan untuk menyelesaikannya mengingat soal-soal jenis ini biasanya diujikan dalam waktu yang singkat. Berikut adalah beberapa contoh soalnya

Contoh 8
24 berapa persen dari 64?
Jawab
$= \dfrac{24}{64} \times 100\% = 37,5 \%$
Jadi, 24 adalah 37,5% dari 64

Contoh 9
9 adalah 30% dari?
Jawab
$30\% = \dfrac{9}{x} \times 100%$
$\dfrac{30}{100} = \dfrac{9}{x}$
$\dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{x} $
$x = 9 \times \dfrac{10}{3}$
$x = 30$

atau dapat dikerjakan dengan
$= \dfrac{9}{30\%} = 9 \times \dfrac{100}{30} = 30$
Jadi, 9 adalah 30% dari 30

Contoh 10
12,5% dari 90 adalah ...
Jawab
$= \dfrac{12,5}{100} \times 90 = 11,25$
Jadi, 12,5% dari 90 adalah 11,25

Demikianla mengenai cara menghitung persen dan contoh soal menghitung persen. Semoga artikel ini bermanfaat, terima kasih.

Internet 4G mu Masih Lemot? Coba Pastikan Hal-Hal Ini Dulu

Perkembangan teknologi sangat pesat, terutama pada bidang teknologi informasi semua informasi begitu cepat kita dapatkan melalui jaringan online. Kebutuhan akan akses informasi yang serba cepat selalu dapat dijawab dengan berkembangnya teknologi internet. Kualitas pengiriman data dari tahun ke tahun selalu ada peningkatan. Beberapa periode terakhir mungkin kita mengenal jaringan 3G yang saat ini juga masih dapat kita nikmati. Sebagai jawaban akan kebutuhan jaringan yang lebih cepat, sekarang telah tersedia jaringan 4G yang tentu saja kecepatan transfer datanya melebihi jaringan 3G.

4G  adalah singkatan dari istilah dalam bahasa Inggris yaitu "fourth generation technology". Jaringan 3G di Indonesia dapat mendukung kecepatan maksimal 3,6 Mbps dan di Eropa sendiri bisa mencapai 7,2 Mbps. Sedangkan untuk jaringan 4G yang sebenarnya (Long Term Evolution-Advance disingkat LTE-A), dapat mendukung kecepatan unduh maksimal 1 Gbps dan unggah maksimal 500 Mbps.

Untuk dapat menikmati jaringan 4G ada beberapa hal yang harus dipastikan terlebih dahulu diantaranya

Pastikan Handphone Kamu Sudah Mendukung 4G

Pastikan Handphone Kamu Sudah Mendukung 4G
Tidak semua smartphone mendukung 4G, untuk itu agar dapat menikmati jaringan 4G kamu harus pastikan terlebih dahulu jika HP kamu sudah support 4G. Beberapa cara yang dapat dilakukan untuk memastikan bahwa HP kamu telah didukung 4 G diantaranya dengan melihat pada kardus HP kamu, jadi coba dilihat-lihat apakah ada tulisan 4G LTE atau "Connection 4G LTE" atau tidak. Jika ada berarti HP kamu dapat menangkap sinyal 4G.
Jika tidak dapat menemukan pada kardusnya atau bahkan kardusnya sudah rusak / hilang. Kamu bisa mengeceknya dengan cara mebuka bagian belakang HP kamu dan coba cari tulisan 4G. Biasanya tulisan 4G berada dekat dengan slot kartu sim kamu. Jika tidak ada juga, sekarang coba masuk ke pengaturan, pilih "Lainnya" atau "More", kemudian pilih "Jaringan Seluler" atau "Cellular Network", selanjutnya pilih "Pilih tipe jaringan" atau "Preferred network type" jika HP kamu memang 4G maka kmu akan menemukan tulisan 4G disana.

Pastikan Kartu SIM Kamu Sudah Mendukung 4G

Pastikan Kartu SIM Kamu Sudah Mendukung 4G
Jika HP kamu sudah 4G, yang selanjutnya harus dipastikan adalah kartu SIM yang juga harus mendukung 4G. Untuk kartu SIM lama biasanya belum dapat menangkap sinyal 4G jadi yang kamu harus lakukan adalah kamu beli kartu SIM baru yang mendukung 4G atau kamu bisa mengupgrade kartu SIM lama dengan mendatangi Service Centre kartu SIM yang kamu gunakan. Biasanya pihak operator mempunyai Service Centre pada tiap kota. Hampir semua kartu SIM dapat diupgrade dari 3G ke 4G secara mandiri seperti kartu XL cara upgradenya dapat dilihat pada artikel Cara Upgrade Kartu XL 3G ke 4G Secara Mandiri Tanpa Kehilangan Pulsa, Kuota, dan Kontak, upgrade secara mandir juga dapat dilakukan untuk kartu Tri, Telkomsel, Indosat, dan Smartfren. Upgrade biasanya dilakukan agar kita masih memiliki nomor telepon seluler kita sebelumnya tanpa kehiangan kontak yang ada di dalamnya.


Pastikan Daerah Kamu Terjangkau Sinyal 4G

Pastikan Daerah Kamu Terjangkau Sinyal 4G
Selanjutnya, hal yang harus dipastikan adalah apakah di daerah kamu berada terjangkau sinyal 4G? Tidak semua wilayah di Indonesia terjangkau oleh sinyal 4G untuk itu, kamu perlu memastikan wilayah kamu berada terjangkau sinyal 4G. Hampir semua operator telah menyediakan layanan untuk mengetahui wilayah yang telah terjangkau sinyal 4G. Layanan ini tersedia pada website resmi masing-masing operator. Kamu bisa mengetahui daerah kamu telah terjangkau 4G atau tidak melalui link-link operator berikut.
XL
Telkomsel
Indosat
Tri
Smartfren
AXIS
(silahkan klik nama operator kartu sim kamu)


Pastikan Pengaturan Handphone Kamu Sudah Berada Dalam Mode 4G

Pastikan Pengaturan Handphone Kamu Sudah Berada Dalam Mode 4G
HP sudah 4G, kartu sim sudah 4G, dan kamu telah berada pada wilayah yang terjangkau sinyal 4G namun internet masih lemot. Coba pastikan dulu settingan/pengaturan HP kamu sudah benar atau tidak agar dapat menjangkau sinyal 4G.  Caranya silahkan nyalakan smartphone kamu, kemudian masuk ke menu "Pengaturan" atau "Setting",  lalu pilih "Lainnya" atau "More", kemudian pilih "Jaringan Seluler" atau "Cellular Network", selanjutnya pilih "Pilih tipe jaringan" atau "Preferred network type" dan terakhir pastikan kamu telah memilih jaringan yang ada tulisan 4G. Biasanya pada HP merek tertentu terdapat pilihan 2G/3G/4G yang artinya HP kamu dapat menjangkau sinyal 4G dan akan otomatis menyesuaikan sinyal yang ditangkap apabila kamu berpindah pada daerah yang hanya terjangkau sinyal 2G atau 3G. Ada juga HP yang dilengkapi pilihan tipe jaringan "Hanya 4G" atau "4G Only" artinya HP kamu hanya akan menangkap sinyal 4G saja.

Pastikan Kamu Telah Membeli Kuota 4G

Pastikan Kamu Telah Membeli Kuota 4G
Setelah melakukan semua hal di atas, internet kamu belum kenceng juga? Coba cara terakhir ini, pastikan paket kuota yang kamu beli adalah kuota 4G. Biasanya semua operator menyediakan paket kuota 3G, 3G dan 4G, atau 4G saja. Jadi kamu harus memastikan jika kamu telah membeli kuota 4G untuk bisa menikmati internet dengan kecepatan 4G. Untuk mengecek kuota 4G, kamu bisa melakukannya melalui fitur dial up dari masing-masing operator yang kamu gunakan
XL (*123#)
Telkomsel (*889# atau *363#)
Indosat (*363#)
Tri (*111#)
Smartfren (*995#)
AXIS (*123#)

Jika semua hal tersebut sudah dapat dipastikan benar, maka seharusnya kamu dapat menikmati layanan 4G dengan baik. Apabila belum, mungkin kerusakan terjadi pada HP kamu.

Mengenal Bentuk Akar

Dari sekolah dasar kita telah mengenal bentuk akar atau dalam materi sekolah dasar penarikan akar. Umumnya di sekolah dasar kita diajarkan penarikan akar angkat dua dan akar pangkat tiga. Selanjutnya, menginjak SMP kita diajarkan akar pangkat lainnya yang lebih tinggi.
Mengenal Bentuk Akar

Lambang akar "$\sqrt{    }$" dipilih sebagai lambang untuk menyatakan akar karena bentuknya mirip dengan bentuk "r" yang berasal dari kata radix. Radix sendiri dalam bahasa latin berarti akar kuadrat. Misalkan n bilangan bulat, a dan b adalah bilangan real. Jika berlaku $b^{n} = a$ maka (b merupakan akar pangkat n dari a.
$b = \sqrt[n]{a}$
Untuk n = 2 biasanya tidak ditulis

Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan akar-akar bilangan rasional yang hasilnya bukan merupakan bilangan rasional (irrasional). Bilangan rasional sendiri merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bulat dan b $\neq$ 0. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bulat dan b $\neq$ 0.
Contoh bentuk akar dan bukan bentuk akar
$\sqrt{3}$ merupakan bentuk akar karena jika ditarik akarnya akan menghasilkan bilangan irrasional
$\sqrt{4}$ bukan merupakan bentuk akar karena jika ditarik akarnya akan menghasilkan 2 (bilangan rasional)

Penyederhanaan Bentuk Akar

Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi bentuk akar yang lebih sederhana. Untuk menyederhanakan suatu bentuk akar, kita dapat menggunkan sifat-sifat berikut:
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
dengan a dan b bilangan bulat positif.

Penyederhanaan bentuk akar dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam tanda akar menjadi bentuk perkalian dua bilangan. Salah satu bilangan merupakan bilangan yang dapat ditarik akarnya dan bilangan yang lain merupakan bilangan terkecil dari faktor bilangan sebelumnya yang tidak ditarik akarnya secara langsung.

Untuk contoh penyederhanaan bentuk akar, perhatikan contoh soal berikut
Contoh 
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$
$3\sqrt{72} = 3\sqrt{36 \times 2} = 3 \times 6\sqrt{2}$$ = 18\sqrt{2}$
$7\sqrt{50} = 7\sqrt{25 \times 2} = 7 \times 5\sqrt{2}$$ = 35\sqrt{2}$

Operasi Hitung Pada Bentuk Akar

Pada bentuk akar kita dapat menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan serta melakukan pembagian. Untuk melakukan operasi hitung ada bentuk akar, kita harus mengetahui sifat-sifatnya sebagai berikut:
Penjumlahan dan Pengurangan
Secara umum dua bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya memiliki bentuk akar yang sama
$a\sqrt[n]{c} + b\sqrt[n]{c} = (a + b)\sqrt[n]{c}$
$a\sqrt[n]{c} - b\sqrt[n]{c} = (a - b)\sqrt[n]{c}$
dengan a, b, c merupakan bilangan rasional dan c $\geq$ 0
Contoh
Tentukan hasil operasi hitung bentuk akar berikut
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$$ = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$$= 7\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5}$$ = 6\sqrt{5}$

Perkalian dan Pembagian
Perkalian dan pembagian pada dua bentuk akar dapat dilakukan apabila keduanya memiliki akar pangkat yang sama
$a\sqrt[n]{c} \times b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}$
$a\sqrt[n]{c} : b\sqrt[n]{d} = \dfrac{a\sqrt[n]{c}}{ b\sqrt[n]{d}}$$ = \dfrac{a}{b}\sqrt[n]{c}{d}$
dengan  a, b, c dan d merupakan bilangan rasional derta c $\geq$ 0 dan d $\geq$ 0
Contoh
Tentukan hasil dari operasi perkalian dan pembagian bentuk akar berikut
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$
Penyelesaian
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$$ = 50\sqrt[3]{8}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$$ = 9\sqrt[6]{4}$

Contoh soal lainnya mengenai operasi hitung pada bentuk akar
Contoh 1
Tentukan bentuk sederhana dari hasil operasi bentuk akar $(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$!
Penyelesaian
$(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$$ = 2\sqrt{9} - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 20$
                                      $ = 2\times3 - 3\sqrt{3} - 20$
                                      $ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
                                      $ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
                                      $ = -14 - 3\sqrt{3}$

Contoh 2
Sebuah persegi panjang memiliki panjang $(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2})$ cm dan lebar $(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$ cm. Luas persegi panjang tersebut adalah ....cm$^{2}$
Penyelesaian
Luas = panjang $\times$ lebar
         $=(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$
         $=6\times3 - 3\sqrt{6} + 10\sqrt{6} - 5\times 2$
         $=18 + 7\sqrt{6} - 10$
         $=8 + 7\sqrt{6}$
Jadi, luas persegi panjang tersebut adalah $8 + 7\sqrt{6}$ cm$^{2}$


Penyederhanaan Bentuk Akar $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ dan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$

Penyederhanaan bentuk akar $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ dan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ dapat dilakukan dengan memanfaatkan sifat pangkat pada bentuk
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} = (a + b) + 2\sqrt{ab}$ dan
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} = (a + b) - 2\sqrt{ab}$
Dari bentuk di atas diperoleh jika 
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ dengan a > b
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!
Contoh
Sederhanakan bentuk akar berikut!
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
Dalam hal ini kita akan mencari faktor dari 15 yang jumlahnya 8. Faktor yang didapat adalah 5 dan 3 ( 5 x 3 = 15 dan 5 + 3 = 8)
$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$$ = \sqrt{(5 + 3)+2\sqrt{5\cdot3}}$
                               $= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}$
                               $=\sqrt{5}+\sqrt{3}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menjawab soal di atas adalah dengan menjadikan bentuk tersebut ke dalam bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$
$\sqrt{5+\sqrt{24}}$$ = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ (ingat kembali penyederhanaan bentuk akar sebelumnya)
Selanjutnya dengan cara yang sama seperti soal nomor a diperoleh
$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$ =  \sqrt{(5 + 1)+2\sqrt{5\cdot1}}$
                               $= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^{2}}$
                               $=\sqrt{5}+\sqrt{1}$
                               $=\sqrt{5}+1$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
$\sqrt{8-\sqrt{60}}$$ = \sqrt{8 -  2\sqrt{15}}$
                               $ = \sqrt{(5 + 3)-2\sqrt{5\cdot3}}$
                               $= \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}$
                               $=\sqrt{5}-\sqrt{3}$

Selanjunya, dalam bentuk akar dikenal pula pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk seperti itu biasanya dapat disederhanakan dengan mersaionalkan penyebut. Mengenai hal tersebut bisa dibaca pada artikel 4 Hal yang Perlu Dipahami Dalam Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar. Demikianlah mengenai, bentuk akar semoga bermanfaat.

Satu Hektar Berapa Meter Persegi?

Pada umumnya satuan luas yang kita kenal adalah dalam m$^2$ (meter persegi). Selain meter persegi, satuan lainnya yang juga dapat digunakan untuk menyatakan luas adalah hektare. Istilah hektare merupakan singkatan dari hekto are, kata ini pun sendiri disingkat hax; berasal dari bahasa Belanda hectare, tetapi aslinya dari bahasa Perancis merupakan satuan luas lainnya yang umum digunakan  untuk menyatakan luas suatu lahan atau tanah. Satuan dasar hektare adalah are, satuan luas yang didefinisikan sebagai 100 meter persegi. Adalah hekto berarti "100 kali" sehingga konversi satu hektare ke dalam sistem internasional adalah

1 ha = 1 hm² = 10.000 m²

Satuan hektare lebih banyak dipakai di Indonesia daripada satuan kilometer persegi (km²) untuk menyatakan luasan suatu lahan atau tanah. Di Indonesia sendiri sering penulisan hektare sering ditulis dalam bentuk hektar.

Satuan are

Satu are berapa meter persegi? Satu are sama dengan 100 meter persegi (1 are = 100 m$^2$). Satu are digunakan untuk luas bidang berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 meter, sehingga luasnya 10 m x 10 m = 100 meter persegi. Satuan are biasa disingkan dengan huruf a, 10 are dapat ditulis 10a. Satuan are biasanya digunakan untuk menyatakan luas tanah atau lahan.

Satuan Hektar

Satu hektar berapa meter persegi? Satu hektar sama dengan 10.000 meter persegi (1 ha = 10.000 m$^2$). Satu hektar digunakan untuk menyatakan  bidang berbentuk bujursangkar dengan panjang sisi 100 meter, sehingga luasnya 100 m x 100 m = 10.000 meter persegi. Satuan hektar adalah singkatan dari “hekto are”. Satuan hektar biasa disingkat dengan ha, 10 hektar dapat ditulis 10 ha.

Satuan Luas Berbasis are

Hektar adalah salah satu satuan berbasis are. Berikut beberapa satuan berbasis are lainnya.
Satu Hektar Berapa Meter Persegi?
Keterangan:
ma = miliare
ca = centiare
da = desiare
a = are
daa = dekaare
ha = hektoare (hektar)
ka = kiloare
Berikut ini beberapa satuan are yang dikonversi ke meter persegi
1 ca = 1 meter persegi atau 0,01 a
1 a = 100 meter persegi
1 daa = 1000 meter persegi atau 10 a
1 ha = 10.000 meter persegi atau 100 a

Contoh soal konversi luas dalam satuan are

Soal:
Sebidang lapangan memiliki luas 3 are. Berapa meter persegi luas lapangan tersebut?
Jawab:
3 are = 3 x 100 m$^2$ = 300 m$^2$

Soal:
Sebidang sawah berbentuk persegi panjang, panjangnya 200 meter dan lebarnya 100 meter. Berapa are luas sawah tersebut?
Jawab:
Luas sawah = 200 m x 100 m = 20.000 m$^2$ = 20.000:100 = 300 are.

Soal: 
Sebuah tanah meiliki luas 2,5 hektar. Berapa meter persegi luas taman tersebut?
Jawab:
2,5 hektar = 2,5 x 10.000 meter persegi = 25.000 m$^2$.

Pengertian Minor, Kofaktor, Matriks Kofaktor, dan Adjoin Matriks

Dalam matriks dikenal beberapa istilah seperti minor, kofaktor dan adjoin matriks. Istilah-istilah ini akan sering kita temukan jika sedang mempelajari determinan dan invers suatu matriks. Determinan dapat ditentukan apabila suatu matriks merupakan matriks persegi dan suatu matriks persegi akan memiliki invers apabila determinannya tidak sama dengan nol (0).
Pengertian Minor, Kofaktor, Matriks Kofaktor, dan Adjoin Matriks

Dalam menentukan suatu determinan kita harus menentukan minor dan kofaktor matriks tersebut kecuali, matriks tersebut merupakan matriks persegi dengan ordo 1 x 1 yang determinannya adalah elemenya sendiri. Sebagai contoh matriks A = [-2] maka determinan matriks A adalah -2. Setelah mendapatkan minor dan kofaktonya selanjutnya kita tentukan ekspansi yang akan kita gunakan, sehingga diperoleh determinan matriks tersebut.

Minor dan kofaktor juga diperlukan dalam menentukan invers suatu matriks persegi. Selain digunakan untuk menentukan determinan, minor dan kofaktor digunakan untuk menentukan Matriks Kofaktor dan Adjoin matriks itu sendiri. Nah Apa itu Minor, Kofaktor, dan Adjoin serta bagaimana cara menentukan Minor, Kofaktor, dan Adjoin itu? Berikut ini adalah ulasan singkatnya

Pengertian Minor 

Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑖j adalah determinan matriks bagian dari matriks 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗. Dengan demikian untuk matriks 1 x 1, kita tidak bisa mendapatkan minornya. Minor kita bisa dapatkan pada matriks persegi 2 x 2, 3 x 3, dan seterusnya. Jumlah minor dari suatu matriks mengikuti jumlah elemenya, jadi pada matriks 2 x 2 akan terdapat 4 minor yaitu $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{21}$, dan $M_{22}$. Sedangkan pada matriks 3 x 3 maka akan terdapat 9 minor yaitu $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{13}$, $M_{21}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{31}$, $M_{32}$, dan $M_{33}$.

Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh cara mencari minor matriks persegi 2 x 2 dan matriks persegi 3 x 3.

Contoh 1
Tentukan semua minor matriks $A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$!
Jawab
Ingat bahwa 𝑀𝑖j adalah determinan matriks bagian dari matriks 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗. Jadi, apabila yang kita cari adalah $M_{11}$ maka kita harus menghilangkan elemen baris pertama dan kolom pertama dan tersisalah satu elemen yaitu -5. Cara yang sama berlaku juga untuk minor selanjutnya.
$M_{11}$ = |-5| = -5
$M_{12}$ = |4| = 4
$M_{21}$ = |3| = 3
$M_{22}$ = |-1| = -1Catatan: tanda "| ...|" dalam hal ini merupakan notasi determinan bukan harga mutlak.

Contoh 2
Tentukan semua minor matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
 6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3
\end{bmatrix}$!
Jawab
Dengan cara yang sama seperti sebelumnya kita akan mendapatkan semua minor matriks B. Minor untuk matriks persegi 3 x 3 akan berupa determinan matriks 2 x 2.
$M_{11} = \begin{vmatrix}
4 & 5 \\
-2 & 3
\end{vmatrix}= 12 - (-10) = 22$
$M_{12} = \begin{vmatrix}
6 & 5 \\
1 & 3
\end{vmatrix}= 18 - 5 = 13$
$M_{13} = \begin{vmatrix}
6 & 4 \\
1 & -2
\end{vmatrix}= -12 - 4 = -16$
$M_{21} = \begin{vmatrix}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{vmatrix}= 3 - 6 = -3$
$M_{22} = \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
1 & 3
\end{vmatrix}= 6 - (-3) = 9$
$M_{23} = \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & -2
\end{vmatrix}= -4 - 1 = -5$
$M_{31} = \begin{vmatrix}
1 & -3 \\
4 & 5
\end{vmatrix}= 5 - (-12) = 17$
$M_{32} = \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
6 & 5
\end{vmatrix}= 10 - (-18) = 28$
$M_{33} = \begin{vmatrix}
2& 1 \\
6& 4
\end{vmatrix}= 8 - 6 = 2$

Pengertian Kofaktor

Kofaktor adalah hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu aturan yaitu (-1)$^{i+j}$ dimana i adalah baris dan j adalah kolom. Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dari matriks A dilambangkan dengan Cij.
Cij = (-1)$^{i+j}$ Mij
Sama seperti minor jumlah kofaktor suatu matriks mengikuti jumlah elemen matriks tersebut. Untuk contoh saya akan melanjutkan contoh 1 dan contoh 2 yang minornya sudah ditentukan sebelumnya

Contoh 1 (lanjutan)
Tentukan semua kofaktor dari matriks $A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$!
Jawab
Karena minornya telah dicari sebelumnya yaitu
$M_{11}$ = -5
$M_{12}$ = 4
$M_{21}$ = 3
$M_{22}$ = -1
Jadi, kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah
Cij = (-1)$^{i+j}$ Mij
$C_{11} = (-1)^{1+1} (-5) = -5$
$C_{12} = (-1)^{1+2} (4) = -4$
$C_{21} = (-1)^{2+1} (3) = -3$
$C_{22} = (-1)^{2+2} (-1) = -1$
Contoh 2 (lanjutan)
Tentukan semua kofaktor matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3
\end{bmatrix}$!
Jawab
Minor-minor matriks B (sudah dicari sebelumnya)
$M_{11} = 22$
$M_{12} = 13$
$M_{13} = -16$
$M_{21} = -3$
$M_{22} = 9$
$M_{23} = -5$
$M_{31} = 17$
$M_{32} = 28$
$M_{33} = 2$
Kofaktor-kofaktor matriks B adalah
$C_{11} = (-1)^{1+1} (22) = 22$
$C_{12} = (-1)^{1+2} (13) = -13$
$C_{13} = (-1)^{1+3} (-16) = -16$
$C_{21} = (-1)^{2+1} (-3) = 3$
$C_{22} = (-1)^{2+2} (9) = 9$
$C_{23} = (-1)^{2+3} (-5) = 5$
$C_{31} = (-1)^{3+1} (17) = 17$
$C_{32} = (-1)^{3+2} (28) = -28$
$C_{33} = (-1)^{3+3} (2) = 2$

Matriks Kofaktor

Matriks kofaktor merupakan matriks yang terdiri dari kofaktor-kofaktor matriks itu sendiri. Jadi, misalkan terdapat suatu matriks katakanlah matriks A, maka matriks kofaktor A merupakan matriks yang terdiri dari kofaktor-kofaktor dari matriks A. Susunan elemen matriks kofaktor juga mengikuti susunan (letak) kofaktor-kofaktornya.

Sebagai contoh, akan digunakan contoh 1 dan contoh 2 yang telah didapatkan kofaktor-kofaktornya.

Contoh 1 (lanjutan)
Matriks
$A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$
Kofaktor-kofaktor matriks A
$C_{11} = -5$
$C_{12} = -4$
$C_{21} = -3$
$C_{22} = -1$
Matriks Kofaktor $A = \begin{bmatrix}
-5 & -4 \\
-3 & -1
\end{bmatrix}$

Contoh 2 (lanjutan)
Matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3
\end{bmatrix}$
Kofaktor-kofaktor matriks B
$C_{11} = 22$
$C_{12} = -13$
$C_{13} = -16$
$C_{21} = 3$
$C_{22} = 9$
$C_{23} = 5$
$C_{31} = 17$
$C_{32} = -28$
$C_{33} = 2$
Matriks Kofaktor $B = \begin{bmatrix}
22 & -13 & -16\\
 3 & 9 & 5\\
17 & -28 & 2
\end{bmatrix}$

Adjoin Matriks

Adjoin matriks merupakan tranpose dari matriks kofaktor. Adjoin sering disingkat dengan Adj. Misalkan matriks A, maka adjoin A ditulis Adj (A). Tranpose sendiri maksudnya adalah pertukaran elemen pada baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Adjoin matriks digunakan dalam menentukan invers matriks.

Nah tadi, pada contoh 1 dan contoh 2 telah didapat matriks kofaktornya untuk adjoinya dapat ditentukan dengan mentranpos matriks kofaktor tersebut.

Contoh 1 (lanjutan)
Matriks $A = \begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
4 & -5
\end{bmatrix}$
Matriks Kofaktor $A = \begin{bmatrix}
-5 & -4 \\
-3 & -1
\end{bmatrix}$
Adjoin matriks A adalah
$Adj (A) = \begin{bmatrix}
-5 & -3 \\
-4 & -1
\end{bmatrix}$

Contoh 2 (lanjutan)
Matriks $B = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -3\\
 6 & 4 & 5\\
1 & -2 & 3

\end{bmatrix}$
Matriks Kofaktor $B = \begin{bmatrix}
22 & -13 & -16\\
 3 & 9 & 5\\
17 & -28 & 2
\end{bmatrix}$
Adjoin matriks B adalah
$Adj (B) = \begin{bmatrix}
22 & 3 & 17\\
 -13 & 9 & -28\\
-16 & 5 & 2
\end{bmatrix}$

Sebagai latihan, cobalah cari semua minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin matriks berikut
$C = \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
4 & -6
\end{bmatrix}$
$D = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 4\\
 7 & 3 & 9\\
1 & 8 & 3
\end{bmatrix}$

Untuk penerapannya minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin matriks dapat dibaca dalam artikel Menentukan Determinan Matriks Berordo 2x2 dan 3x3Cara Menentukan Invers Matriks 2 x 2, dan Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3.

Demikianlah penjelasan singkat mengenai pengertian minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin matriks. Semoga bermanfaat

Script Pop Up Facebook Responsive Pada Tampilan Mobile

Fanpage Facebook adalah salah satu media yang umum digunakan untuk menjaring audien. Sehingga audien akan selalu mendapatkan informasi terkini dari pemilik fanpage tersebut. Fanpage facebook menjadi sangat penting untuk keperluan komersial ataupun non komersial mengingat facebook merupakan salah satu media sosial dengan pengguna paling banyak saat ini. Menurut situs Smarth Insight facebook pada tahun ini (2017) memiliki 1,870 miliar pengguna aktif. Indonesia merupakan negara ke empat pengguna facebook terbanyak, dimana peringkat pertama ditempati oleh Amerika Serikat, kemudian India, dan ketiga disusul Brazil. 
Dengan pengguna aktif yang begitu besar facebook merupakan salah satu media penjaring audien yang sangat potensial. 

Dibandingkan dengan memiliki akun personal, fanpage facebook memiliki kelebihan terutama menjaring audiens yang tak terbatas. Para pengguna facebook dapat selalu terhubung dengan fanpage kita dengan cara yang sangat mudah, hanya dengan menyukai (like) fanpage kita. Dengan demikian secara otomatis orang tersebut akan mendapatkan setiap informasi/status dari fanpage tersebut pada beranda facebooknya. 

Sebagai seorang pemilik website atau blog anda sebaiknya memiliki fanpage. Namun, memiliki sebuah fanpage saja tidaklah berguna jika tidak memiliki follower yang banyak. Untuk mendapatkan follower (orang yang menyukai fanpage anda) dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu dengan mengundang teman-teman facebook anda untuk menyukainya, mempromosikan dengan melalui jasa pengiklanan faceboo (berbayar), atau dengan mempromosikannya melalui website anda sendiri.

Dengan mempromosikan melalui website anda sendiri merupakan cara yang cukup bagus menurut saya pribadi. Ini dapat diibaratkan seperti "menyelam sambil minum air". Sambil membangun  website, sekaligus anda mendapatkan like untuk fanpage facebook anda. Caranya sangat mudah, yaitu dengan memasang kota fanpage pada website kita. Kotak fanpage ini dapat anda pasang pada sidebar atau tempat lain yang anda rasa strategis, mudah dilihat, dan bahkan dilike oleh pengunjung website anda.

Selain itu, ada cara yang lebih jitu yaitu dengan memasang pop up fanpage facebook. Pop up sendiri merupakan bentuk tayangan jendela (window) baru yang akan menampilkan fanpage facebook anda. Pop up pada umumnya akan muncul ketika pengunjung membuka salah satu laman pada website kita. Nah dengan demikian pengunjung akan secara otomatis dihadapkan pada window yang menampilkan fanpage kita. Pengalaman pribadi saya, saya banyak mendapat like dengan memasang pop up ini. Saat artikel ini ditulis fanpage madematika telah disukai sebanyak 11.000 orang dan terus bertambah.


Untuk memasang fanpage facebook pada website dengan platform blogger anda dapat memasang script di bawah ini




Script ini merupakan script yang saya peroleh dari situs http://blog.irsah.com namun saya telah edit dibagian tertentu yang menggunakan bahasa Inggris dan saya sesuaikan dengan bahasa Indonesia. Script di atas memiliki kelebihan dibandingkan dengan script lainnya yaitu tampilan yang responsive (otomatsi menyesuaikan) pada tampilan dekstop (PC/Laptop) maupun mobile (smartphone/tablet). Cara memasangnya sangat mudah yaitu:
  • Masuk ke blogger
  • Kemudian masuk ke Tata Letak, dan tambahkan widget baru
  • Pilih HTML/Javascript, copy kode di atas dan paste (judul dikosongkan saja)
  • Terakhir klik Simpan (Anda dapat menaruh widget ini dimana saja)

Jangan lupa mengganti link fanpage dengan link fanpage milik anda caranya adalah dengan 
  • Pada script fanpage cari kode "<iframe allowtransparency='true' frameborder='0' scrolling='no' src='//www.facebook.com/plugins/likebox.php?href=http://www.facebook.com/madematika.net&width=290&height=275&colorscheme=light&show_faces=true&border_color=%23ffffff&stream=false&header=false'style='border: 0 none; overflow: hidden; width: 290px; height: 270px;text-align:center;margin:0 auto;'></iframe>"
  • Ganti link yang diwarnai merah dengan link fanpage anda sendiri.
  • Ganti juga link kontak pada script yaitu pada "<a class="fb-link" href="http://www.madematika.net/p/contact-us.html">Contact Us</a>" dengan link kontak anda (dapat berupa link laman kontak)
Kelebihan dari script ini adalah adanya tombol close, menggunakan cookies artinya fanpage akan muncul pada saat seorang pengunjung baru pertama kali mengunjungi website kita dan script ini responsive pada tampilan dekstop maupun mobile. Namun, terdapat pula kekurangan penggunaan pop up fanpage adalah dapat menambah bounce rate website anda karena pengunjung merasa terganggu dengan munculnya fanpage ini secara tiba-tiba.

Penggunaan Invers Matriks Untuk Menyelesaikan Suatu Sistem Persamaan Linear

Matriks yang kita kenal sebagai susunan bilangan menurut baris dan kolom, ternyata memiliki kaitan dengan materi lainnya dalam matematika. Invers dan determinan dari suatu matriks persegi ternyata dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Untuk itu sebelum mempelajri cara penggunaannya anda bisa membaca mengenai invers dan determinan suatu matriks melalui label Matriks.
Penggunaan Invers Matriks Untuk Menyelesaikan Suatu Sistem Persamaan Linear

Nah, untuk bahasan pertama kita akan mulai dengan penggunaan invers matriks untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear atau lebih dikenal dengan metode invers

Di sini saya akan batasi pembahasanya hanya untuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) serta sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Misalkan, diberikan sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut

$a_{11}x + a_{12}y = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y = b_{2}$

Sistem persamaan di atas dapat diubah kedalam bentuk matriks menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 b_{1} \\
 b_{2}
\end{bmatrix}$
Jika matriks A adalah matriks dari koefisien-koefisien dari sistem persamaan linear sebelumnya, matriks X adalah matriks variabelnya, dan matriks B adalah matriks konstanta, maka matriks-matriks tersebut dapat ditulis menjadi
$AX = B$
Untuk dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut atau dalam hal ini menentukan nilai dari setiap variabelnya, dapat dilakukan dengan cara
$X = A^{-1}B$

Dengan $A^{-1}$ merupakan invers matriks A. Dan perlu diingat bahwa invers dari suatu matriks, misalkan matriks A dapat ditentukan dengan rumus
$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)
Lebih jauh mengenai invers matriks 2 x 2 anda dapat mempelajarinya pada artikel Cara Menentukan Invers Matriks 2 x 2 sedangkan untuk matriks 3 x 3 anda dapat membacanya pada artikel Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3. Disamping itu agar lebih mudah nantinya mempelajari penyelesaian suatu sistem persamaan linear dengan menggunakan invers sebaiknya anda terlebih dahulu menguasai perkalian dua buah matriks

Untuk lebih jelasnya mengenai menyelesaikan persamaan linear dua variabel dengan menggunakan invers matriks atau metode invers, perhatikan contoh soal yang telah disertai pembahasan berikut

Contoh 1
Dengan menggunakan metode invers, tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel
2x - 3y = 3
x + 2y = 5
Pembahasan
Sistem persamaan di atas dapat diubah menjadi
$\begin{bmatrix}
2 & -3 \\
1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3 \\
5
\end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B$
$\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=\dfrac{1}{4-(-3)}$$\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 \\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=\dfrac{1}{7}$$\begin{bmatrix}
6 + 15 \\
-3 + 10
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
21 \\
7
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=$$\begin{bmatrix}
\frac{21}{7} \\
\frac{7}{7}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
 x\\
 y
\end{bmatrix}=$$\begin{bmatrix}
3 \\
1
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 1

Sedangkan, untuk sistem persamaan linear tiga variabel apabila ingin diselesaikan dengan menggunakan metode invers caranya hampir sama seperti pada sistem persamaan linear dua variabel. Namun, untuk sistem persamaan linear tiga variabel sedikit agak ribet karena untuk menentukan inversnya kita harus mencari minor dan kofaktornya terlebih dahulu. Agar lebih mudah mempelajarinya sebaiknya anda memahami dulu mengenai cara Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3. Misalkan diketahui, suatu sistem persamaan linear tiga variabel
$a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_{2}$
$a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_{3}$
maka matriks sistem persamaan tersebut dapat ditulis menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$
Jika, $A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$, $X = \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$, dan $B = \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$ maka

$A \times X = B$
$X = A^{-1}B$
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$

Berikut ini adalah contoh soal mengenai penggunaan metode invers untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear tiga variabel

Contoh 2
Dengan menggunakan invers matriks tentukanlah penyelesaian sistem persamaan tiga variabel berikut!
2x + y - z = 1
x + y = 3
x - y + 2z = 5

Penyelesaian
Dari sistem persamaan yang diketahui diperoleh
$\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
 1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
Dengan demikian
$A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
 1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$
$det(A) = 4 + 0 + 1 - (-1) - 0 - 2 = 4 $(dengan menggunakan metode sarrus)
Dengan menggunakan cara yang sama seperti penjelasan sebelumnya maka diperoleh
Matriks Kofakor A $ = \begin{bmatrix}
2 & -2 & -2\\
 -1& 5 & 3\\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$
$Adj(A) = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
 -2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}$
Sehingga
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
 -2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 - 3 + 5\\
-2 + 15 - 5\\
-2 + 9 + 5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
4\\
8\\
12
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{4}{4}\\
\frac{8}{4}\\
\frac{12}{4}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

Sebagai latihan soal cobalah selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode invers

Latihan soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan menggunakan metode invers
-x + 3y = 10
2x + 4y = 10

2. Dengan menggunakan metode invers tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut!
2p - 3q + r = 7
-p + q - 3r = -8
p + q + 2r = 4

Selain menggunakan invers kita juga dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan menggunakan determinan matriks. Caranya dapat anda baca pada artikel Menyelesaikan Persamaan Linier Tiga Variabel Dengan Metode Determinan Matriks. Semoga bermanfaat

Cara Upgrade Kartu XL 3G ke 4G Secara Mandiri Tanpa Kehilangan Pulsa, Kuota, dan Kontak

Jaringan 4G merupakan pengembangan teknologi komunikasi generasi sebelumnya yaitu 3G. 4G  adalah singkatan dari istilah dalam bahasa Inggris yaitu "fourth generation technology". Ada dua sebutan untuk teknologi komunikasi 4G yang saat ini dikenal. Pertama adalah  Long Term Evolution (LTE) serta Long Term Evolution-Advance (LTE-A). LTE dapat dikatakan sebagai teknologi "pra 4G" karena baru menawarkan kecepatan unduh (download) hingga 100 Mbps dan kecepatan unggah (upload) hingga 50 Mbps.  Sedangkan untuk jaringan 4G yang sebenarnya, syaratnya adalah sebuah teknologi 4G harus memiliki kecepatan unduh maksimal 1 Gbps dan unggah maksimal 500 Mbps. Sehingga, jaringan LTE-A yang sebenarnya dapat dikatakan sebagai n"the true 4G".

Di Indonesia ssendiri telah digelar oleh operator-operator telekomunikasi seperti, Smartfren, XL Axiata, Indosat, serta Telkomsel. Namun, jangkauannya masih terbatas di beberapa wilayah saja. Di samping itu, masih belum banyak perangkat yang bisa digunakan untuk menjangkau jaringan 4G LTE. Meski kini, para produsen smartphone sudah mulai berlomba-lomba mengeluarkannya.

Dibanding dengan jaringan 3G, kelebihan yang sangat jelas yang dimiliki jaringan 4G adalah kecepatan akses internet. Hal ini sangat sesuai dengan kebutuhan masyarakat saat ini. Dengan dukungan perangkat saat ini, komunikasi dapat dilakukan dengan menggunakan aplikasi yang berbasis internet. Karena inilah saat ini, banyak yang beralih menggunakan kartu SIM yang sudah dapat mengakses jaringan 4G. Namun, untuk beralih menggunakan 4G ternyata dapat dilakukan tanpa mengganti kartu SIM kita atau dapat dilakukan tanpa kehilangan nomor telpon sebelumnya, pulsa, dan bahkan tanpa kehilangan kuota internet yang sudah kita daftarkan sebelumnya. Hal ini bisa dilakukan di mana saja dan kapan saja.
Cara Upgrade Kartu XL 3G ke 4G Secara Mandiri Tanpa Kehilangan Pulsa, Kuota, dan Kontak

Nah, untuk itu saya akan berbagi pengalaman cara upgrade kartu XL 3G ke 4G secara Mandiri Tanpa kehilangan pulsa, kuota, dan kontak. Jika anda pengguna kartu XL dan ingin beralih ke jaringan 4G, sebelum anda beralih sebaiknya anda memastikan bahwa di daerah anda sudah terjangkau jaringan dan pastikan juga perangkat seluler anda sudah dapat digunakan untuk menangkap jaringan 4G.

Cara Mengetahui Daerah Dalam Jangkauan 4G atau Tidak

Salah satu kekurangan jaringan 4G di Indonesia adalah cover area yang belum menjangkau seluruh wilayah di Indonesia. Untuk itu sebelum anda beralih membeli atau akan menggunakan layanan 4G pastikan wilayah tempat anda tinggal atau berada terjangkau oleh jaringan 4G. Untuk pengguna XL dan Axis kita dapat mengetahui daerah kita sudah terjangkau 4G atau tidak melalui layanan yang tersedia pada situs resmi XL. Layanan ini dapat diakses melalui link ini, pada laman terebut anda tinggal mengetik nama tempat yang ingin anda pastikan sudah terjangkau 4G atau tidak.

Untuk operator lainya seperti Telkomsel, Indosat, Smartfren dan Tri juga menyediakan layanan yang sama. Masing-masing layanan untuk mengetahui jangkauan 4G dapat diakses melalui link berikut: Telkomsel, Indosat, Tri dan Smartfren

Cara Mengetahui Telepon Genggam yang Dapat Menangkap Jaringan 4G

Selain kendala jaringan, sebelum anda beralih ke teknologi 4G sebaiknya anda pastikan terlebih dahulu apakah perangkat telepon genggam anda sudah mendukung 4G atau tidak. Caranya dapat dilihat langsung pada dus telepon genggam anda atau dengan memastikannya melalui perangkat telepon genggam anda secara langsung.

Langkah-langkahnya adalah silahkan buka pengeturan (Setting), pilih lainnya (More), kemudian pilih jaringan seluler (Celular network), dan terakhir klik pada pilih mode jaringan (Preferred network type). Di sana akan ada beberapa pilihan jaringan biasanya 2G dan 3G atau  WCDMA/GSM(Auto). Jika terdapat tulisan 4G atau LTE maka perangkat anda sudah mendukung 4G. Jika belum maka perangkat anda belum dapat didukung oleh 4G

Persiapan Dalam Melakukan Upgrade Kartu XL 3G ke XL 4G

Hal-hal yang perlu disiapkan sebelum melakukan upgrade kartu secara mandiri adalah sebuah kartu SIM yang baru atau kartu uSIM (sebutan untuk kartu SIM  4G)yang harganya diasaran sekitar Rp7.000, telepon genggam segala merek dan tidak harus dilengkapi teknologi 4G, kartu keluarga atau KTP kita sendiri dan KTP ibu kita ini diperlukan untuk meregistrasi ulang kartu kita.

Hal yang lain yang perlu dilakukan nanti adalah backup kontak, untuk ponsel android biasanya telah dilengkapi dengan fitur backup/export kontak dalam bentuk file dengan format .vcf dan bisa dikirim ke ponsel lain melalui koneksi bluetooth.


Cara Upgrade Kartu XL ke 4G

Untuk upgrade kartu XL 3G ke 4G dapat dilakukan dengan mendatangi XL Centre yang terdekat di kota anda atau secara mandiri. Jika anda merasa tidak yakin mengupgrade kartu anda secara mandiri anda bisa mengunjungi XL Centre yang terdekat di kota anda. Untuk lokasinya anda bisa menemukannya dengan mengunjungi situs resmi XL Axiata, pada laman tersebut anda tinggal memasukkan lokasi tempat tinggal anda dan akan muncul beberapa outlet XL Centre.

Untuk upgrade secara mandiri anda bisa melakukannya dimana saja. Untuk XL layanan ini disebut sebagai "over the air". Langkah-langkah upgrade secara mandiri dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut

  1. Siapkan telepon genggam anda
  2. Backup kontak anda terlebih dahulu
  3. Kemudian ketik *123*46# dan ikuti intruksinya
  4. Matikan telepon genggam dan cabut kartu SIM yang lama
  5. Masukkan kartu uSIM (kartu SIM 4G)
  6. Hidupkan telepon genggam anda dan ikuti intruksinya, biasanya akan diikuti oleh registrasi ulang. Jangan lupa siapkan NIK sendiri dan NIK Ibu anda yang bisa temukan pada KTP atau kartu KK.
  7. Jika proses berhasil anda akan menerima pesan, jika proses upgrade telah berhasil.
Berdasarkan pengalaman pribadi saya, upgrade ini tidak akan membuat anda kehilangan pulsa maupun kuota yang telah anda daftarkan sebelumnya. Demikianlah mengenai Cara upgrade kartu XL 3G ke 4G secara mandiri tanpa kehilangan pulsa, kuota, dan kontak. Semoga beranfaat