Menentukan Kedudukan Garis Terhadap Suatu Parabola

Terdapat tiga kemungkinan posisi/kedudukan garis terhadap parabola, pertama mememotong parabola di dua titik, kedua memotong pada bola di satu titik atau menyinggung parabola, dan ketiga tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap parabola yaitu memotong di dua titik, menyinggung, dan tidak memotong maupun menyinggung parabola. Ketiga kondisi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut
Untuk menentukkan kedudukan garis terhadap suatu parabola, dapat dilakukan dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut:

  1. Substitusi persamaan garis ke dalam persamaan parabola, dari hasil substitusi tersebut akan diperoleh persamaan kuadrat.
  2. Kemudian tentukan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut
Kedudukan suatu garis terhadap parabola ditentukan dengan nilai diskriminan $(D = b^2 - 4ac)$ sebagai berikut

$D > 0$, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan
$D = 0$, maka garis menyinggung parabola
$D < 0$, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal  berikut!

Contoh 1
Tentukan kedudukan garis $x - y + 2 = 0$ terhadap parabola $x^2 - y = 0$!
Penyelesaian
$x - y + 2 = 0$
$y = x + 2$

Substitusi $y = x + 2$ ke $x^2 - y = 0$
$x^2 - (x + 2) = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$

$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 9 (D > 0)$, maka garis memotong parabola pada dua titik

Selain kedudukan dalam beberapa kasus, kita akan dihadapkan pada soal yang meminta kita untuk menentukan titik potong atau titik singgung suatu garis. Untuk menentukan titik potong atau titik singgung garis pada suatu parabola, dapat dilakukan dengan menentukan akar-akar dari hasil substitusi persamaan garis ke persamaan parabola. Kemudian, dilanjutkan dengan menentukan nilai variabel yang lain dengan menggunakan metode substitusi ke persamaan garis.

Maka dari itu persamaan kuadrat hasil substitusi menjadi sangat penting baik dalam menentukan kedudukan garis maupun titik potong/titik singgungnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 2 
Tentukan kedudukan garis $2x - y + 3 = 0$ terhadap parabola $2x^2 - 4x - y + 7 = 0 $ serta tentukan titik potong atau singgung garis jika garis tersebut memotong atau menyinggung parabola
Penyelesian
$2x - y + 3 = 0$
$y = 2x + 3$

Substitusi $y = 2x + 3$ ke $2x^2 - 4x - y + 7 = 0 $
$2x^2 - 4x - (2x + 3) + 7 = 0 $
$2x^2 - 4x - 2x - 3 + 7 = 0 $
$2x^2 - 6x + 4 = 0 $
$x^2 - 3x + 2 = 0 $
$D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$ $(D > 0)$, maka garis memotong parabola pada dua titik

Titik potongnya
$x^2 - 3x + 2 = 0 $
$(x - 1)(x - 2) = 0 $
$x = 1$ atau $x = 2$
Untuk $x = 1$
$y = 2(1) + 3 = 5$ $(1, 5)$
Untuk $x = 2$
$y = 2(2) + 3 = 5$ $(2, 7)$
Jadi, titik potong garis dengan parabola adalah $(1, 5)$ dan $(2, 7)$

Agar lebih terampil dalam memecahkan masalah/soal-soal keduduakn garis terhadap parabola, berikut ini akan disajikan contoh soal beserta pembahasan lainnya terkait keduduakn garis terhadap parabola

Contoh 3
Tentukan nilai k agar garis  $x - y - k = 0$ dan parabola $y^2 =  2x - 4$ bersinggungan!
Penyelesaian
$x - y - k = 0$
$y = x - k$

Substitusi $y = x - k$ ke $y^2 =  2x - 4$
$(x - k)^2 =  2x - 4$
$x^2 - 2kx + k^2 = 2x - 4$
$x^2 - 2kx + k^2 - 2x + 4 = 0$
$x^2 - 2kx - 2x + k^2 + 4 = 0$
$x^2 -(2k - 2)x + (k^2 + 4) = 0$

Syarat garis menyinggung parabola $D = 0$
$b^2 - 4ac = 0$
$(-(2k - 2))^2 - 4(1)(k^2 + 4) = 0$
$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 - 16 = 0$
$ - 8k - 12 = 0$
$-8k = 12$
$k = \frac{12}{-8}$
$k = -\frac{3}{2}$
Jadi, agar $x - y - k = 0$ menyinggung parabola $y^2 =  2x - 4$ nilai k adalah $- \frac{3}{2}$

Contoh 4
Sebuah parabola yang berpuncak di P(3, 0) dan mempunyai fokus di F(4, 0). Tunjukkan bahwa parabola tersebut bersinggungan dengan garis $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$!
Penyelesaian
Langkah pertama untuk menyelesaikan Contoh 4 ini adalah dengan menentukan persamaan parabolanya
A(3, 0)
F(4, 0) ini berarti p = 4 - 3 = 1
Persamaan parabolanya
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
$(y - 0)^2$ = $4(1)(x - 3)$
$y ^2$ = $4x - 12$

Substitusi $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ ke $y ^2$ = $4x - 12$
$(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})^2$ = $4x - 12$
$\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ = $4x - 12$
$x^2 + 2x + 1 = 16x - 48$
$x^2 + 2x + 1 - 16x + 48 = 0$
$x^2 - 14x + 49 = 0$

Syarat garis menyinggung parabola $D = 0$
$D = b^2 - 4ac$
$D = (-14)2 - 4(1)(49)$
$D = 196 - 196$
$D = 0$
Jadi, terbukti jika parabola bersinggungan dengan garis $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Contoh 5
Tentukan batas-batas nilai p agar garis $y = px + 1$ tidak memotong maupun menyinggung parabola $y^2 = 2x$!
Penyelesaian
Substitusi $y = px + 1$ ke $y^2 = 2x$
$(px + 1)^2 = 2x$
$p^2 x^2 + 2px + 1 = 2x$
$p^2 x^2 + 2px + 1 - 2x = 0$
$p^2 x^2 + 2px - 2x + 1 = 0$
$p^2 x^2 + (2p - 2)x + 1 = 0$

Agar garis tidak memotong maupun menyinggung parabola maka $D < 0$
$b^2 - 4ac < 0$
$(2p - 2)^2 - 4(p^2)(1) < 0$
$4p^2 - 8p + 4 - 4p^2 < 0$
$-8p + 4 < 0$
$-8p < -4$
$p > \frac{-4}{-8}$
$p > \frac{1}{2}$
Jadi, batas-batas nilai p agar garis $y = px + 1$ tidak memotong maupun menyinggung parabola $y^2 = 2x$ adalah $p > \frac{1}{2}$

Demikianlah mengenai menetukan kedudukan garis terhadap suatu parabola, semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon