Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi Dalam Interval Tertutup

Perhatikan roket yang ditembakkan dari suatu tempat, lintasan roket terlihat seperti kurva. Saat waktu t tertentu roket mencapai ketinggian h maksimum. Jika melihat bentuk lintasan tersebut, untuk menentukan nilai t dan h roket agar mencapai tinggi yang maksimum akan sama halnya seperti mencari nilai stasioner dalam hal ini nilai balik maksimum. Nah, dalam artikel kali ini kita akan membahas mengenai masalah-masalah seperti di atas yang dikemas dalam materi nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup.

Nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam hal ini kurang lebih dapat diartikan nilai yang terbesar dan terkecil fungsi tersebut dalam interval tertutup tertentu. Sedangkan, yang dimaksud dengan interval tertutup adalah interval dengan batas yang termasuk dalam interior point. Jika interval terbuka menggunakan tanda ketaksamaan (> atau <) tanpa sama dengan, maka dalam interval tertutup tanda ketaksamaan yang digunakan menggunakan sama dengan $(\leq $atau$\geq)$.

Dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada kurva tertutup tertentu belum tentu nilai maksimum atau minimumnya merupakan nilai stasionernya. Nilai stasioner suatu fungsi dalam kurva tertutup tertentu dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu dari nilai-nilai stasionernya atau dari nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval tertutup itu

Untuk menentukkan nilai maksimum dan nilai minmum suatu fungsi $f$ dalam suatu interval tertutup, dapat dilakukan dengan mengambil langkah-langkah sebagai berikut

Langkah 1
Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada x di dalam interval.
Langkah 2
Menentukan nilai fungsi pada batas-batas/ujung-ujung interval.
Langkah 3
Menentukan nilai maksimum dan minimum berdasarkan hasil dari langkah 1 dan langkah 2.

Nantinya, nilai maksimumnya merupakan nilai yang terbesar dari fungsi $f$ dan nilai minimum merupakan nilai yang terkecil dari fungsi $f$. Agar dapat memahaminya dengan baik berikut ini akan disajikan contoh soal mengenai nilai maksimum dan minimum suatu fungsi beserta pembahasannya.

Contoh 1
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f = x^2 - 4x$ dalam interval $-2 \leq x \leq 0$!
Penyelesaian
$f = x^2 - 4x$
$f' = 2x - 4$
$f(x) = 2x - 4$
$f'(x) = 0$
$2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$

Langkah 1
Nilai stasioner
Dilihat nilai x = 2, tidak ada dalam interval $-2 \leq x \leq 0$
$f (2)= 2^2 - 4(2) = -4$

Langkah 2
Nilai fungsi pada batas-batas interval
$f(-2)= (-2)^2 - 4(-2) = 12$
$f(0) = 0^2 - 4(0) = 0$

Langkah 3
Jadi, nilai maksimumnya adalah 12 dan minimumnya adalah 0 atau ($0 \leq x \leq 12$)

Contoh 2
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ dalam interval $-2 \leq x \leq 3$!
Penyelesaian
$f (x)= 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$
$f'(x) = 6x^2 - 6x^2 - 12$
$f'(x) = 0$
$6x^2 - 6x^2 - 12 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0 $
$(x + 1)(x - 2) = 0$
$x = -1$ atau $x = 2$

Langkah 1
Nilai stasioner
x = -1 dan x = 2 terletak pada interval $-2 \leq x \leq 3$
$f (-1)= 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1$ $= -2 - 3 + 12 + 1 = 8$
$f (2)= 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1$ $ = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$

Langkah 2
Nilai fungsi pada batas-batas interval $-2 \leq x \leq 3
$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 1$ $= -16 - 12 + 24 + 1 = -3$
$f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) + 1$ $= 54 - 27 - 36 + 1 = -8$

Langkah 3
Dilihat dari langkah 1 dan 2,
Jadi, nilai maksimumnya 8 dan nilai minimunnya adalah -19

Penerapan nilai maksimum dan minimum dapat juga kita jumpai pada mata pelajaran lain seperti Fisika, Kimia, dan Ekonomi atau dalam bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Biasanya, nilai maksimum dan minimumnya didapat dari nilai stasioner (nilai balik maksimum atau nilai balik minimum). Berikut ini merupakan contoh soal nilai maksimum dan minimum dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh 3
Sebuah peluru ditembakan ke atas, dalam waktu t detik tinggi peluru dapat dirumuskan dengan $h(t) = 400t - 5t^2$ dalam satuan meter. Tentukanlah nilai t agar tinggi peluru maksimum dan tentukanlah nilai h maksimum tersebut!
Penyelesaian
$h(t) = 400t - 5t^2$
$h'(t) = 400 - 10t$
Agar h maksimum, maka $h'(x) = 0$
$h'(t) = 0$
$400 - 10t = 0$
$10t = 400$
$t = 40$
Nilai h maksimum apabila t = 40
$h(t) = 400(40) - 5(40)^2 = 16000 - 9000 = 7000$
Jadi, nilai t agar tinggi peluru maksimum adalah t = 40 s dengan ketinggian mencapai 7000 m

Contoh 4
Jumlah dua bilangan x dan y adalah 20, hasil kalinya p. Tentukan  hasil yang terbesarnya!
Penyelesaian
$x + y = 20 \to y = 20 - x$
$p = x \cdot y$
Ubah fungsi p dalam x menjadi
$f(x) = x(20 - x)$
$f(x) = 20x - x^2$
$f'(x) = 20 - 2x$

Agar hasil kalinya maksimum maka $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$20 - 2x = 0$
$2x = 20$
$x = 10$
Hasil kali terbesarnya adalah
$f(10) = 10(20 - 10) = 100$
Jadi, hasil kali terbesarnya adalah 20

Contoh 5
Suatu kebun akan dipagari kawat berduri, panjang kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kebun berbentuk persegi panjang. Tentukan ukuran kolam agar terdapat luas yang maksimum dan berapa luas maksimum itu!
Penyelesaian
$2(p + l) = 400$
$p + l = 200$
$l = 200 - p$

$L(p) = p \cdot l$
$L(p) = p(200 - p)$
$L(p) = 200p - p^2$
$L'(p) = 200 - 2p$

Agar luasnya maksimum maka $L'(p) = 0$
$L'(p) = 0$
$200 - 2p = 0$
$2p = 200$
$p = 100$
Untuk $p = 100$, maka didapat
$l = 200 - p$
$l = 200 - 100$
$l = 100$

Luasnya,
$L(p) = p \cdot l = 100 \cdot 100 = 10000$
Jadi, ukuran kolam p = 100 m dan l = 100 m dengan luas maksimum 10000 m$^2$

Demikianlah mengenai nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup, semoga bermanfaat dan dapat dipahami.

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon