Penggunaan Dalil L'Hopital Untuk Menyelesaikan Limit Tak Tentu

Dalam permasalahan suatu limit sering kali kita dihadapkan pada soal yang menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$. Jika menemukan masalah seperti ini, limit tidak dapat dikerjakan dengan menggunakan cara substitusi langsung. Limit yang menghasilkan bentuk tak tentu seperti ini dapat diselesaiakan dengan cara memfaktorkan, membagi dengan pangkat tertinggi, atau mengelikan dengan faktor kawan/bentuk sekawan untuk fungsi dalam bentuk akar.

Selain itu, kita dapat menggunakan aplikasi turunan dalam menentukan limit yang menghasilkan bentuk tak tentu tersebut. Aplikasi ini dikenal dengan aturan L'Hopital atau lebih populer dikenal sebagai dalil L'Hopital.


Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel. Jika $g'(x) \neq 0$ untuk setiap $x \neq a$ dan jika $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ mempunyai bentuk tak tentu pada x = a maka
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ dengan catatan $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ada

Jika, setelah diturunkan tetap menghasilkan bentuk tak tentu, maka bentuk terakhir diturunkan lagi dan begitu seterusnya sehingga diperoleh nilai limitnya
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f''(x)}{g''(x)} = .....$  dan seterusnya

Untuk lebih jelasnya mengenai penggunaan Dalil L'Hopital dalam menyelesaikan limit bentuk tak tentu, berikut ini akan disajikan beberapa contoh soal beserta uraian atau pembahasannya.

Contoh 1
Dengan menggunakan aturan L'Hopital selesaiakanlah  $\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{x^2 - 9}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{x^2 - 9}$$= \lim_{x \to -3} \frac{1}{2x} $$= \frac{1}{2(-3)} = -\frac{1}{6}$

Contoh 2
Selesaiakan limit $\lim_{x \to 1} \frac{x^7 - 1}{x - 1}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 1} \frac{x^7 - 1}{x - 1}$$= \lim_{x \to 1} \frac{7x^6}{1} = 7(1)^6 = 7$

Contoh 3
Tentukan nilai $\lim_{x \to 0} \frac{3 - 2cos 2x}{x^2}$ dengan menggunakan aturan L'Hopital!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 0} \frac{3 - 2cos 2x}{x^2}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{4sin 2x}{2x}$
Karena masih menghasilkan bentuk tak tentu, maka bentuk terakhir diturunkan lagi
                       $ = \lim_{x \to 1} \frac{8cos2x}{2}$
                       $= \frac{8cos2(0)}{2}$
                       $= 4cos 0$
                       $ = 4(1)$
                       $= 1$

Sebagai catatatn tidak semua limit tak tentu lebih mudah digunakan dengan menggunakan dalil L'Hopital. Karena beberapa limit lebih efektif diselesaiakan dengan menggunakan cara yang telah dijelaskan dalam materi limit. Demikianlah mengenai penggunaan dalil L'Hopital untuk menyelesaiakna masala limit bentuk tak tentu, semoga bermanfaat dan dapat dipahami

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon