Turunan Kedua dan Penggunaannya

Jika suatu benda bergerak memenuhi fungsi jarak s yang ditempuh selama waktu t. Maka turunan pertama s merupakan kecepatan benda tersebut. Jika dengan turunan pertama kita memperoleh kecepatan suatu benda, maka dengan turunan keduanya kita akan mendapatkan percepatanya

Sebelumnya kita telah mengenal turunan dalam hal ini adalah turunan pertama, turunan kedua merupakan kelanjutan dari turunan pertama. Apabila $f'(x)$ adalah pertama dari $f(x)$, maka $f''(x)$ adalah turunan kedua yang diperoleh dari penurunan kembali turunan pertama $f'(x)$. Selain percepatan, turunan kedua dalam penggunaanya dapat digunakan untuk menentukan jenis nilai stasionernya.

Notasi untuk turunan kedua dapat dituliskan menjadi $f''(x)$ atau $y''$ atau $\frac{d^2 f}{d x^2}$ atau  $\frac{d^2 y}{d x^2}$. Penulisan $\frac{d^2 f}{d x^2}$ merupakan penulisan singkat dari bentuk $\frac{d}{dx} \left(\frac{df}{dx}\right)$, begitu pula untuk $\frac{d^2 y}{d x^2}$ adalah penulisan singkat dari $\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{dx}\right)$. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal yang disertai pembahasannya berikut ini

Contoh 1
Carilah turunan kedua fungsi $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 8$!
Penyelesaian
$f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 8$
$f'(x) = 3x^2 + 6x - 2$
$f''(x) = 6x + 6$

Contoh 2
Carilah nilai $f''(2)$ dari fungsi $f(x) = 5x^3 + 10x$!
Penyelesaian
$f(x) = 5x^3 + 10x$
$f'(x) = 15x^2 + 10$
$f''(x) = 30 x$
$f''(2) = 30(2) = 60$

Contoh 3
Turunan kedua dari fungsi $f(x) = sin^2 x$ adalah ...
Penyelesaian
$f(x) = sin^2 x$
$f'(x) = 2 sinx cosx$
$f''(x) = 2(cosx x cosx - sinx sinx)$
$f''(x) = 2(1 - sin^2 x - sin^2 x)$
$f''(x) = 2(1 - sin^2 x)$

Penggunaan Turunan Kedua
Turunan kedua dapat digunakan untuk menentukan jenis-jenis nilai stasionernya. Sebenarnya dari turunan pertama kita telah dapat mengetahuinya dengan menguji tanda-tandanya. Hal ini kadang terasa aga merepotkan, dengan menggunakan turunan kedua menentukan jenis-jenis nilai stasioner suatu fungsi akan lebih mudah. Dalam menentukan jenis nilai stasioner dengan menggunakan tes turunan kedua berlaku



Misalkan $f$$(x)$ kontinu pada interval $b < x < c$ yang memuat $x = a$. Turunan pertama $f'(x) $ dan turunan kedua $f''(x) $ terdefinisi dalam interval tersebut dan $f'(a) = 0$, maka
Jika $f''(x)< 0$, maka $f(a)$ adalah nilai balik naksimum
Jika $f''(x) > 0$, maka $f(a)$ adalah nilai balik minimum

Namun, ada hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan uji turunan kedua, jika $f''x = 0$ atau tak terhingga, maka jenis-jenis nilai stasionernya tidak dapat ditentukan. Apabila demikian, jenis-jenis nilai stasionernya hanya dapat digunakan dengan menggunakan uji turunan pertama saja.

Selain itu, dalam kehidupan sehari-hari turunan kedua dapat digunakan untuk menentukan nilai percepatan suatu fungsi. Untuk lebih jelasnya, berikut ini akan disajikan contoh soal dan pembahasanya.

Contoh 4
Dengan menggunakan uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi $f(x) = x^2 + 2x + 4$!
Penyelesaian
$f(x) = x^2 + 2x + 4$
$f'(x) = 2x + 2$
$f''(x) = 2$
Nilai stasioner diperoleh dengan syarat $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$2x + 2 = 0$
$x = -1$

$f''(-1) = 2 > 0$
Oleh karena $f''(-1) > 0$, maka jenis nilai stasionernya adalah nilai balik minimum dengan nilai $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$

Contoh 5
Dengan menggunakan uji turunan kedua, selidiki jenis-jenis nilai stasioner fungsi $f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 2$!
Penyelesaian
$f(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 2$
$f'(x) = 6x^2 - 10x - 4$
$f''(x) = 12x - 10$
Nilai satsioner diperoleh dengan syarat $f'(x) = 0$
$f'(x) = 0$
$6x^2 - 10x - 4 = 0$
$3x^2 - 5x - 2 = 0$
$(3x + 1)(x - 2) = 0$
$x = -\frac{1}{3}$ atau $x = 2$

$f''(-\frac{1}{3}) = 12 ( \frac{1}{3} ) - 10 = -6 < 0$, $f(-\frac{1}{3})$ adalah nilai balik maksimum dengan nilai $f(-\frac{1}{3}) = 2(-\frac{1}{3})^3 - 5(-\frac{1}{3})^2 - 4(-\frac{1}{3}) + 2 $ $= \frac{73}{27} = 2\frac{8}{27}$
$f''(2) = 12 ( 2) - 10 = 14 > 0$, $f(-\frac{1}{3})$ adalah nilai balik minimum dengan nilai $f(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 - 4(2) + 2 $ $= -42 $

Contoh 6
Sebuah benda bergerak menurut lintasan sepanjang s meter pada waktu t detik dan dirumuskan dengan dengan fungsi  $s = t^3 – 6t$
a. Carilah besarnya kecepatan dan percepatan benda sebagai fungsi t.
b. Hitunglah besarnya kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 3 s.
Penyelesaian
$s = t^3 – 6t$
a. Kecepatan dan percepatn dalam fungsi t
Kecepatan $v = s'$
$s' = 3t^2 – 6$
Percepatan $a = s''$
$s'' = 6t$
b. Kecepatan dan percepatan saat t = 3 s.
Kecepatan
$v = 3(3)^2 - 6 = 21$ m/s
$a = 6(3) = 16$ m/s$^2$
Jadi, kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 3 s adalah  21 m/s dan 16 m/s$^2$

Demikianlah mengenai turunan kedua dan penggunaanya, semoga bermanfaat dan dapat dpahami.

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon