Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3

Matriks persegi merupakan matriks yang banya baris dan kolomnya sama. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen nya bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya. Ada banyak hal yang dapat dieksplorasi dari matriks persegi, dari matriks persegi kita dapat menentukan determinanya dan bisa juga inversnya. Namun tidak semua matriks persegi memiliki invers, matriks persegi yang mempunyai invers memiliki determinan yang nilainya bukan nol atau sering dikenal sebagai matriks nonsingular (invertibel). Sedangkan, matriks yang memiliki determinan sama dengan nol (non invertibel) disebut sebagai matriks singular, matriks singular tidak memiliki invers

Hubungan Suatu Matriks Dengan Inversnya

Apabila dua buah matriks persegi dengan ordo sama dikalikan menghasilkan matriks identitas ada kemungkinan jika kedua matriks tersebut adalah saling invers. Matriks identitas sendiri adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1. Misalkan terdapat matriks persegi A dan matriks persegi B dengan ordo yang sama dan berlaku
A x B = B x A = I

Maka dapat dikatakan jika kedua matriks A dan B adalah matriks yang saling invers. Invers matriks persegi yang sering dipelajari adalah matriks 2 x 2 dan 3 x 3. Untuk invers matriks 2 x 2 materinya dapat anda baca pada artikel Cara Menentukan Invers Matriks 2 x 2. Sedangkan untuk matriks 3 x 3 akan dibahas pada artikel ini.

Minor, Kofaktor, Matriks Kofaktor dan Adjoin Matriks 3 x 3

Sebelum, menentukan invers matriks yang berordo 3 x 3, ada baiknya terlebih dahulu kita pahami atau ningat kembali mengenai determinan matriks  berordo 3 x 3 dan  minor, kofaktor, matriks kofaktor dari suatu matriks serta Adjoin matriks. Untuk determinan matriks 3 x 3 kita dapat menggunakan metode sarrus ataupun metode ekspansi kofaktor atau anda dapat melihat caranya pada artikel Menentukan Determinan Matriks Berordo 2x2 dan 3x3. Minor merupakan determinan matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j suatu matriks. Minor dinotasikan dengan $M_{ij}$, misalkan A adalah matriks 3 x 3, maka $M_{11}$ adalah determinan matriks 2 x 2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris pertama dan kolom pertama pada matriks A, $M_{12}$ adalah determinan matriks 2 x 2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris pertama dan kolom kedua pada matriks A, $M_{13}$ adalah determinan matriks 2 x 2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris pertama dan kolom ketiga pada matriks A dan seterusnya. Hingga terdapat 9 minor pada matriks A yang berordo 3 x 3 yaitu $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{13}$, $M_{21}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{31}$, $M_{32}$, dan $M_{33}$.

Kofaktor merupakan hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu aturan yaitu $(-1)^{i+j}$ dimana i adalah baris dan j adalah kolom. Kofaktor dinotasikan dengan $C_{ij}$, sama halnya dengan minor pada matriks yang berordo 3 x 3  terdapat 9 kofaktor yaitu $C_{11}$, $C_{12}$, $C_{13}$, $C_{21}$, $C_{22}$, $C_{23}$, $C_{31}$, $C_{32}$, dan $C_{33}$. Selanjutnya, kofaktor-kofaktor ini dapat disusun menjadi matriks atau dikenal dengan matriks kofaktor yaitu
Matriks Kofaktor A = $\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13}\\
 C_{21} & C_{22} & C_{23}\\
 C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{bmatrix}$
Adjoin matriks A atau dapat ditulis dengan $Adj(A)$ merupakan matriks transpos dari matriks kofaktor A dengan demikian adjoin matriks A dapat ditulis dengan
$Adj(A) = \begin{bmatrix}
C_{11} & C_{21} & C_{31}\\
 C_{12} & C_{22} & C_{32}\\
 C_{13} & C_{23} & C_{33}
\end{bmatrix}$

Menentukan Invers Matriks yang berordo 3 x 3

Misalkan A merupakan suatu matriks persegi non singular maka invers matriks A dinotasikan dengan dinotasikan dengan $A^{-1}$ dan dapat ditentukan dengan rumus
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}Adj (A)$
 Dengan
$\det (A)$ = determinan matriks A
$Adj (A)$ = Adjoin matriks A (merupakan transpos dari matriks kofaktor A)

Untuk lebih jelasnya mengenai cara menentukan invers matriks berordo 3 x 3, berikut adalah contoh soal dan jawaban dari invers matriks 3 x 3
Contoh 1
Tentukan invers matriks yang berordo 3 x 3 berikut!
$A = \begin{bmatrix}
3 & 2 & 1\\
 -1& 2 & 4\\
 5& 1 & -3
\end{bmatrix}$
Penyelesaian
1) Langkah pertama kita selesaikan terlebih dahulu determinanya dalam hal ini akan menggunakan metode Sarrus
det(A) = -18 + 40 + (-1) - 10 -12 - 6 = -7
2) Menentukan semua kofaktor dari matriks A
$C_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}
 2& 4\\
 1& -3
\end{vmatrix} = 1(-6 - 4) =-10$
$C_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix}
 -1& 4\\
 5& -3
\end{vmatrix} = -1(3 - 20) = 17$
$C_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix}
 -1& 2\\
 5& -1
\end{vmatrix} = 1(1 - 10) = -9$
$C_{21} = (-1)^{2+1}\begin{vmatrix}
 2& 1\\
 1& -3
\end{vmatrix} = -1(-6 - 1) = 7$
$C_{22} = (-1)^{2+2}\begin{vmatrix}
 3& 1\\
 5& -3
\end{vmatrix} = 1(-9 - 5) = 14$
$C_{23} = (-1)^{2+3}\begin{vmatrix}
 3& 2\\
 5& 1
\end{vmatrix} = -1(3 - 10) = 7$
$C_{31} = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix}
 2& 1\\
 2& 4
\end{vmatrix} = 1(8 - 2) = 6$
$C_{32} = (-1)^{3+2}\begin{vmatrix}
 3& 1\\
 -1& 4
\end{vmatrix} = -1(12 - (-1)) = -13$
$C_{33} = (-1)^{3+3}\begin{vmatrix}
 3& 2\\
 -1& 2
\end{vmatrix} = 1(6 - (-2)) = 8$
3) Matriks Kofaktor A
Matriks Kofaktor A = $\begin{bmatrix}
10 & 17 & -9\\
 7& 14 & 7\\
 6& -13 & 8
\end{bmatrix}$
4) Adjoin A
$Adj (A) = \begin{bmatrix}
10 & 7 & 6\\
 17& 14& -13\\
 6& 7 & 8
\end{bmatrix}$
5) Invers matriks A
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}Adj (A)$
$A^{-1} = \dfrac{1}{-7}\begin{bmatrix}
10 & 7 & 6\\
 17& 14& -13\\
 6& 7 & 8
\end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix}
-\frac{10}{7} & -1 & -\frac{6}{7}\\
 -\frac{17}{-7}& -\frac{14}{7}& \frac{13}{7}\\
 -\frac{6}{7}& -1 & -\frac{8}{7}
\end{bmatrix}$
Jadi, invers matriks A adalah $A^{-1} = \begin{bmatrix}
-\frac{10}{7} & -1 & -\frac{6}{7}\\
 -\frac{17}{-7}& -\frac{14}{7}& \frac{13}{7}\\
 -\frac{6}{7}& -1 & -\frac{8}{7}
\end{bmatrix}$


Contoh 2
Tentukan invers dari matriks $B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
 -1& 4 & 3\\
 -2& 1 & -1
\end{bmatrix}$

Penyelesaian
1) Determinan matriks B
det(B) = -4 + 0 + (-2) - (-16) - 3 - 0 = 7
2) Menentukan semua kofaktor dari matriks B
$C_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}
 4& 3\\
 1& -1
\end{vmatrix} = 1(-4 - 3) =-7$
$C_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix}
  -1& 3\\
 -2& -1
\end{vmatrix} = -1(1 - (-6)) = -7$
$C_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix}
 -1& 4\\
 -2& 1
\end{vmatrix} = 1((-1) - (-8)) = 7$
$C_{21} = (-1)^{2+1}\begin{vmatrix}
 0& 2\\
 1& -1
\end{vmatrix} = -1(0 - 2) = 1$
$C_{22} = (-1)^{2+2}\begin{vmatrix}
 1& 2\\
 -2& -1
\end{vmatrix} = 1((-1) - (-4)) = 3$
$C_{23} = (-1)^{2+3}\begin{vmatrix}
 1& 0\\
 -2& 1
\end{vmatrix} = -1(1 - 0) = -1$
$C_{31} = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix}
 1& 0\\
 -1& 4
\end{vmatrix} = 1(4 - 0) = 4$
$C_{32} = (-1)^{3+2}\begin{vmatrix}
  1& 2\\
 -1& 3
\end{vmatrix} = -1(3 - (-2)) = -5$
$C_{33} = (-1)^{3+3}\begin{vmatrix}
1& 0\\
 -1& 4
\end{vmatrix} = 1(4 - 0) = 4$
3) Matriks Kofaktor B
Matriks Kofaktor B = $\begin{bmatrix}
-7 & -7 & 7\\
 1& 3 & -1\\
 4& -5 & 4
\end{bmatrix}$
4) Adjoin A
$Adj (A) = \begin{bmatrix}
-7 & 1 & 4\\
 -7& 3& -1\\
 7& -5 & 4
\end{bmatrix}$
5) Invers matriks B
$B^{-1} = \dfrac{1}{\det(B)}Adj (B)$
$B^{-1} = \dfrac{1}{7}\begin{bmatrix}
-7 & 1 & 4\\
 -7& 3& -1\\
 7& -5 & 4
\end{bmatrix}$
$A^{-1} = \begin{bmatrix}
-1 & \frac{1}{7} & \frac{4}{7}\\
 -1& \frac{3}{7}& -\frac{1}{7}\\
 1 & -\frac{5}{7} & \frac{4}{7}
\end{bmatrix}$
Jadi, invers matriks B adalah $B^{-1} = \begin{bmatrix}
-1 & \frac{1}{7} & \frac{4}{7}\\
 -1& \frac{3}{7}& -\frac{1}{7}\\
 1 & -\frac{5}{7} & \frac{4}{7}
\end{bmatrix}$

Latihan Soal
Sebagai latihan soal, cobalah cari invers matriks berikut!
$C = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 4\\
 -2& 0 & 5\\
 4& 1 & -2
\end{bmatrix}$

Penggunaan Invers Matriks 3 x 3

Invers matriks secara umum dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian permasalahan sistem persamaan linear. Khusus untuk invers matriks 3 x 3 dapat digunakan untuk menentukan sistem persamaan linear 3 x 3. Hal ini dapat dilakukan dengan mengubah sistem persamaan tersebut ke dalam bentuk matriks. Misalkan diketahui, suatu sistem persamaan linear tiga variabel
$a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_{2}$
$a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_{3}$
maka matriks sistem persamaan tersebut dapat ditulis menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$
Jika, $A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$, $X = \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$, dan $B = \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$ maka

$A \times X = B$
$X = A^{-1}B$
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!
Contoh 3
Dengan menggunakan invers matriks tentukanlah penyelesaian sistem persamaan tiga variabel berikut!
2x + y - z = 1
x + y = 3
x - y + 2z = 5

Penyelesaian
Dari sistem persamaan yang diketahui diperoleh
$\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
 1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
Dengan demikian
$A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
 1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$
$det(A) = 4 + 0 + 1 - (-1) - 0 - 2 = 4 $(dengan menggunakan metode sarrus)
Dengan menggunakan cara yang sama seperti penjelasan sebelumnya maka diperoleh
Matriks Kofakor A $ = \begin{bmatrix}
2 & -2 & -2\\
 -1& 5 & 3\\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$
$Adj(A) = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
 -2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}$
Sehingga
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
 -2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 - 3 + 5\\
-2 + 15 - 5\\
-2 + 9 + 5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
4\\
8\\
12
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{4}{4}\\
\frac{8}{4}\\
\frac{12}{4}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

Sebagai latihan cobalah soal selesaikan soal berikut
Latihan Soal
Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan tiga variabel berikut!
x + 2y + 3z = 10
x - y + z = 2
x + y + z = 6

Selain itu, penyelesaian dari sistem persamaan linear dapat juga dilakukan dengan menggunakan determinan matriks. Metode penyelesaian sistem persamaan ini dapat anda baca pada artikel Menyelesaikan Persamaan Linier Tiga Variabel Dengan Metode Determinan Matriks.

Demikianlah mengenai invers matriks berordo 3 x 3. Artikel ini belum dapat dikatakan sempurna atau lengkap, untuk itu saya mohon umpan balik dari para pembaca blog ini dengan memberikan masukan melalui kolom komentar. Semoga bermanfaat.

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon