Penggunaan Invers Matriks Untuk Menyelesaikan Suatu Sistem Persamaan Linear

Matriks yang kita kenal sebagai susunan bilangan menurut baris dan kolom, ternyata memiliki kaitan dengan materi lainnya dalam matematika. Invers dan determinan dari suatu matriks persegi ternyata dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Untuk itu sebelum mempelajri cara penggunaannya anda bisa membaca mengenai invers dan determinan suatu matriks melalui label Matriks.
Penggunaan Invers Matriks Untuk Menyelesaikan Suatu Sistem Persamaan Linear

Nah, untuk bahasan pertama kita akan mulai dengan penggunaan invers matriks untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear atau lebih dikenal dengan metode invers

Di sini saya akan batasi pembahasanya hanya untuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) serta sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Misalkan, diberikan sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut

$a_{11}x + a_{12}y = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y = b_{2}$

Sistem persamaan di atas dapat diubah kedalam bentuk matriks menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 b_{1} \\
 b_{2}
\end{bmatrix}$
Jika matriks A adalah matriks dari koefisien-koefisien dari sistem persamaan linear sebelumnya, matriks X adalah matriks variabelnya, dan matriks B adalah matriks konstanta, maka matriks-matriks tersebut dapat ditulis menjadi
$AX = B$
Untuk dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut atau dalam hal ini menentukan nilai dari setiap variabelnya, dapat dilakukan dengan cara
$X = A^{-1}B$

Dengan $A^{-1}$ merupakan invers matriks A. Dan perlu diingat bahwa invers dari suatu matriks, misalkan matriks A dapat ditentukan dengan rumus
$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)
Lebih jauh mengenai invers matriks 2 x 2 anda dapat mempelajarinya pada artikel Cara Menentukan Invers Matriks 2 x 2 sedangkan untuk matriks 3 x 3 anda dapat membacanya pada artikel Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3. Disamping itu agar lebih mudah nantinya mempelajari penyelesaian suatu sistem persamaan linear dengan menggunakan invers sebaiknya anda terlebih dahulu menguasai perkalian dua buah matriks

Untuk lebih jelasnya mengenai menyelesaikan persamaan linear dua variabel dengan menggunakan invers matriks atau metode invers, perhatikan contoh soal yang telah disertai pembahasan berikut

Contoh 1
Dengan menggunakan metode invers, tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel
2x - 3y = 3
x + 2y = 5
Pembahasan
Sistem persamaan di atas dapat diubah menjadi
$\begin{bmatrix}
2 & -3 \\
1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3 \\
5
\end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B$
$\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=\dfrac{1}{4-(-3)}$$\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 \\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=\dfrac{1}{7}$$\begin{bmatrix}
6 + 15 \\
-3 + 10
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
21 \\
7
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
  x\\
 y
\end{bmatrix}=$$\begin{bmatrix}
\frac{21}{7} \\
\frac{7}{7}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
 x\\
 y
\end{bmatrix}=$$\begin{bmatrix}
3 \\
1
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 1

Sedangkan, untuk sistem persamaan linear tiga variabel apabila ingin diselesaikan dengan menggunakan metode invers caranya hampir sama seperti pada sistem persamaan linear dua variabel. Namun, untuk sistem persamaan linear tiga variabel sedikit agak ribet karena untuk menentukan inversnya kita harus mencari minor dan kofaktornya terlebih dahulu. Agar lebih mudah mempelajarinya sebaiknya anda memahami dulu mengenai cara Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3. Misalkan diketahui, suatu sistem persamaan linear tiga variabel
$a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_{1}$
$a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_{2}$
$a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_{3}$
maka matriks sistem persamaan tersebut dapat ditulis menjadi
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$
Jika, $A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}$, $X = \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$, dan $B = \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$ maka

$A \times X = B$
$X = A^{-1}B$
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$

Berikut ini adalah contoh soal mengenai penggunaan metode invers untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear tiga variabel

Contoh 2
Dengan menggunakan invers matriks tentukanlah penyelesaian sistem persamaan tiga variabel berikut!
2x + y - z = 1
x + y = 3
x - y + 2z = 5

Penyelesaian
Dari sistem persamaan yang diketahui diperoleh
$\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
 1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
Dengan demikian
$A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & -1\\
 1& 1 & 0\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$
$det(A) = 4 + 0 + 1 - (-1) - 0 - 2 = 4 $(dengan menggunakan metode sarrus)
Dengan menggunakan cara yang sama seperti penjelasan sebelumnya maka diperoleh
Matriks Kofakor A $ = \begin{bmatrix}
2 & -2 & -2\\
 -1& 5 & 3\\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$
$Adj(A) = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
 -2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}$
Sehingga
$X = \dfrac{1}{det(A)}Adj(A)B$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1\\
 -2& 5 & -1\\
-2 & 3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
3\\
5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
2 - 3 + 5\\
-2 + 15 - 5\\
-2 + 9 + 5
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \dfrac{1}{4}\begin{bmatrix}
4\\
8\\
12
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{4}{4}\\
\frac{8}{4}\\
\frac{12}{4}
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}$
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

Sebagai latihan soal cobalah selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode invers

Latihan soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan menggunakan metode invers
-x + 3y = 10
2x + 4y = 10

2. Dengan menggunakan metode invers tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut!
2p - 3q + r = 7
-p + q - 3r = -8
p + q + 2r = 4

Selain menggunakan invers kita juga dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan menggunakan determinan matriks. Caranya dapat anda baca pada artikel Menyelesaikan Persamaan Linier Tiga Variabel Dengan Metode Determinan Matriks. Semoga bermanfaat

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon