Mengenal Bentuk Akar

Dari sekolah dasar kita telah mengenal bentuk akar atau dalam materi sekolah dasar penarikan akar. Umumnya di sekolah dasar kita diajarkan penarikan akar angkat dua dan akar pangkat tiga. Selanjutnya, menginjak SMP kita diajarkan akar pangkat lainnya yang lebih tinggi.
Mengenal Bentuk Akar

Lambang akar "$\sqrt{    }$" dipilih sebagai lambang untuk menyatakan akar karena bentuknya mirip dengan bentuk "r" yang berasal dari kata radix. Radix sendiri dalam bahasa latin berarti akar kuadrat. Misalkan n bilangan bulat, a dan b adalah bilangan real. Jika berlaku $b^{n} = a$ maka (b merupakan akar pangkat n dari a.
$b = \sqrt[n]{a}$
Untuk n = 2 biasanya tidak ditulis

Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan akar-akar bilangan rasional yang hasilnya bukan merupakan bilangan rasional (irrasional). Bilangan rasional sendiri merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bulat dan b $\neq$ 0. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan a dan b bilangan bulat dan b $\neq$ 0.
Contoh bentuk akar dan bukan bentuk akar
$\sqrt{3}$ merupakan bentuk akar karena jika ditarik akarnya akan menghasilkan bilangan irrasional
$\sqrt{4}$ bukan merupakan bentuk akar karena jika ditarik akarnya akan menghasilkan 2 (bilangan rasional)

Penyederhanaan Bentuk Akar

Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi bentuk akar yang lebih sederhana. Untuk menyederhanakan suatu bentuk akar, kita dapat menggunkan sifat-sifat berikut:
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
dengan a dan b bilangan bulat positif.

Penyederhanaan bentuk akar dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam tanda akar menjadi bentuk perkalian dua bilangan. Salah satu bilangan merupakan bilangan yang dapat ditarik akarnya dan bilangan yang lain merupakan bilangan terkecil dari faktor bilangan sebelumnya yang tidak ditarik akarnya secara langsung.

Untuk contoh penyederhanaan bentuk akar, perhatikan contoh soal berikut
Contoh 
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$
$3\sqrt{72} = 3\sqrt{36 \times 2} = 3 \times 6\sqrt{2}$$ = 18\sqrt{2}$
$7\sqrt{50} = 7\sqrt{25 \times 2} = 7 \times 5\sqrt{2}$$ = 35\sqrt{2}$

Operasi Hitung Pada Bentuk Akar

Pada bentuk akar kita dapat menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan serta melakukan pembagian. Untuk melakukan operasi hitung ada bentuk akar, kita harus mengetahui sifat-sifatnya sebagai berikut:
Penjumlahan dan Pengurangan
Secara umum dua bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya memiliki bentuk akar yang sama
$a\sqrt[n]{c} + b\sqrt[n]{c} = (a + b)\sqrt[n]{c}$
$a\sqrt[n]{c} - b\sqrt[n]{c} = (a - b)\sqrt[n]{c}$
dengan a, b, c merupakan bilangan rasional dan c $\geq$ 0
Contoh
Tentukan hasil operasi hitung bentuk akar berikut
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2}$
b. $5\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$$ = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$$ = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
c. $7\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{125}$$= 7\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5}$$ = 6\sqrt{5}$

Perkalian dan Pembagian
Perkalian dan pembagian pada dua bentuk akar dapat dilakukan apabila keduanya memiliki akar pangkat yang sama
$a\sqrt[n]{c} \times b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}$
$a\sqrt[n]{c} : b\sqrt[n]{d} = \dfrac{a\sqrt[n]{c}}{ b\sqrt[n]{d}}$$ = \dfrac{a}{b}\sqrt[n]{c}{d}$
dengan  a, b, c dan d merupakan bilangan rasional derta c $\geq$ 0 dan d $\geq$ 0
Contoh
Tentukan hasil dari operasi perkalian dan pembagian bentuk akar berikut
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$
Penyelesaian
a. $25\sqrt[3]{4} \times 2\sqrt[3]{2}$$ = 50\sqrt[3]{8}$
b. $243\sqrt[6]{12} : 27\sqrt[6]{3}$$ = 9\sqrt[6]{4}$

Contoh soal lainnya mengenai operasi hitung pada bentuk akar
Contoh 1
Tentukan bentuk sederhana dari hasil operasi bentuk akar $(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$!
Penyelesaian
$(2\sqrt{3} + 5)(\sqrt{3} - 4)$$ = 2\sqrt{9} - 8\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 20$
                                      $ = 2\times3 - 3\sqrt{3} - 20$
                                      $ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
                                      $ = 6 - 3\sqrt{3} - 20$
                                      $ = -14 - 3\sqrt{3}$

Contoh 2
Sebuah persegi panjang memiliki panjang $(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2})$ cm dan lebar $(2\sqrt{3} - \sqrt{2})$ cm. Luas persegi panjang tersebut adalah ....cm$^{2}$
Penyelesaian
Luas = panjang $\times$ lebar
         $=(3\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$
         $=6\times3 - 3\sqrt{6} + 10\sqrt{6} - 5\times 2$
         $=18 + 7\sqrt{6} - 10$
         $=8 + 7\sqrt{6}$
Jadi, luas persegi panjang tersebut adalah $8 + 7\sqrt{6}$ cm$^{2}$


Penyederhanaan Bentuk Akar $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ dan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$

Penyederhanaan bentuk akar $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ dan $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$ dapat dilakukan dengan memanfaatkan sifat pangkat pada bentuk
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} = (a + b) + 2\sqrt{ab}$ dan
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} = (a + b) - 2\sqrt{ab}$
Dari bentuk di atas diperoleh jika 
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ dengan a > b
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut!
Contoh
Sederhanakan bentuk akar berikut!
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
Penyelesaian
a. $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$
Dalam hal ini kita akan mencari faktor dari 15 yang jumlahnya 8. Faktor yang didapat adalah 5 dan 3 ( 5 x 3 = 15 dan 5 + 3 = 8)
$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$$ = \sqrt{(5 + 3)+2\sqrt{5\cdot3}}$
                               $= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}$
                               $=\sqrt{5}+\sqrt{3}$
b. $\sqrt{5+\sqrt{24}}$
Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menjawab soal di atas adalah dengan menjadikan bentuk tersebut ke dalam bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$
$\sqrt{5+\sqrt{24}}$$ = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ (ingat kembali penyederhanaan bentuk akar sebelumnya)
Selanjutnya dengan cara yang sama seperti soal nomor a diperoleh
$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$ =  \sqrt{(5 + 1)+2\sqrt{5\cdot1}}$
                               $= \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^{2}}$
                               $=\sqrt{5}+\sqrt{1}$
                               $=\sqrt{5}+1$
c. $\sqrt{8-\sqrt{60}}$
$\sqrt{8-\sqrt{60}}$$ = \sqrt{8 -  2\sqrt{15}}$
                               $ = \sqrt{(5 + 3)-2\sqrt{5\cdot3}}$
                               $= \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}$
                               $=\sqrt{5}-\sqrt{3}$

Selanjunya, dalam bentuk akar dikenal pula pecahan dengan penyebut bentuk akar. Bentuk seperti itu biasanya dapat disederhanakan dengan mersaionalkan penyebut. Mengenai hal tersebut bisa dibaca pada artikel 4 Hal yang Perlu Dipahami Dalam Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar. Demikianlah mengenai, bentuk akar semoga bermanfaat.

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon