Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel

Sistem persamaan nonlinear dua variabel dalam hal ini adalah sistem persamaan nonlinear dua variabel yang dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Maka sangat penting memahami cara menyelesaikan suatu SPLDV terlebih dahulu sebelum menyelesaiakan suatu sistem persamaan nonlinear dua variabel.
Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel

Sebelum membahas cara menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dua variabel, terlebihdahulu kita bahas mengenai bentuk-bentuk dari persamaan nonlinear dua variabel itu sendiri. Jika pada persamaan linear dua variabel kita akan mendapatkan bentuk persamaan yang terdiri dari dua variabel dan masing-masing variabel berderajat satu (berpangkat satu) maka, pada persamaan nonlinear dua variabel kita akan mendapati suatu persamaan yang terdiri dari dua variabel namun pangkat dari variabelnya tidak berpangkat satu lagi. Perhatikan beberapa contoh bentuk persamaan yang dapat dikategorikan sebagai persamaan nonlinear dua variabel berikut

$x^{2} + y^{2} = 9$
$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 5$
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 2$

Untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dua variabel kita dapat mengubah persamaan nonlinear menjadi persamaan linear dua variabel dengan memisalkannya. Apabila bentuk persamaanya sudah sederhana kita bisa langsung menyelesaikanya dengan mengubahnya ke persamaan linear dua variabel. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasan berikut

Contoh 1
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut
$x^{2} + 3y^{2} = 13$ dan $3x^{2} - 2y^{2}=-5$
Penyelesaian
Karena persamaanya cukup sederhana, jadi langsung saja kita selesaikan
$x^{2} + 3y^{2} = 13$ .........1)
$3x^{2} - 2y^{2}=-5$ ..........2)
Eliminasi $x^{2}$
$x^{2} + 3y^{2} = 13$   |x3| $3x^{2} + 9y^{2} = 39$
$3x^{2} - 2y^{2}=-5$   |x1| $3x^{2} - 2y^{2}=-5$
                                                                    -
                                      $11y^{2} = 44$
                                      $y^{2} = 4$
                                      $y = \pm 2$
Diperoleh dua nilai y yaitu y = 2 dan y = -2
Untuk y = 2
Substitusi y = 2 ke persamaan 1)
$x^{2} + 3(2)^{2} = 13$
$x^{2} + 12 = 13$
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$
Dengan demikian diperoleh penyelesaian (1, 2) dan (-1, 2)
Untuk y = -2
$x^{2} + 3(-2)^{2} = 13$
$x^{2} + 12 = 13$
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$
Dengan demikian diperoleh penyelesaian (1, -2) dan (-1, -2)
Jadi, himpunanan penyelesaiannya adalah {(1, 2), (-1, 2), (1, -2), (-1, -2)}

Contoh 2
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{2}$ dan $\frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 5$ adalah ....
Penyelesaian
$\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{2}$ .....1)
$\frac{4}{x}+ \frac{3}{y} = 5$ .......................2)
Eliminasi $\frac{1}{y}$
$\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{2}$ |x3| $\frac{9}{x} - \frac{6}{y} = -\frac{3}{2}$
$\frac{4}{x}+ \frac{3}{y} = 5$      |x2|$\frac{8}{x}+ \frac{6}{y} = 10$ 
                                                                     +
                                      $\frac{17}{x}  =  \frac{17}{2}$
                                      $17 \cdot 2  = 17 \cdot x$
                                      $34  = 17x$
                                      $x = 2$
Substitusi x = 2 ke 2)
$\frac{4}{2}+ \frac{3}{y} = 5$
$2+ \frac{3}{y} = 5$
$ \frac{3}{y} = 3$
$3 = 3y$
$y = 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1)}

Contoh 3
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$ dan $3\sqrt{x+1} - \sqrt{y} = 3$ adalah ....
Penyelesaian
$\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$ .....1)
$3\sqrt{x+1} - \sqrt{y} = 3$ ......2)
Eliminasi $\sqrt{y}$
$\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$ |x1|$\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$
$3\sqrt{x+1} - \sqrt{y} = 3$  |x2|$6\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = 6$
                                                                       -
                                      $-5\sqrt{x+1}=-10$
                                      $\sqrt{x + 1} = 2$
                                      $x + 1 = 4$
                                      $x = 3$
Substitusi x = 3 ke 1)
$\sqrt{3+1} - 2\sqrt{y} = -4$
$\sqrt{4} - 2\sqrt{y} = -4$
$2 - 2\sqrt{y} = -4$
$- 2\sqrt{y} = -6$
$\sqrt{y} = 3$
$y = 9$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 9)}

Contoh 4
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\frac{1}{x+2} + \frac{3}{y+1} = 1\frac{1}{4}$ dan $\frac{2}{x+2} + \frac{5}{y+1} = 2\frac{1}{6}$ adalah ....
Penyelesaian
Karena persamaannya cukup kompleks, kita selesaikan soal di atas dengan menggunakan pemisalan
$m = \frac{1}{x+2}$
$n = \frac{1}{y + 1}$
$\frac{1}{x+2} + \frac{3}{y+1} = 1\frac{1}{4}$
$\frac{2}{x+2} + \frac{5}{y+1} = 2\frac{1}{6}$
atau dapat ditulis menjadi
$m + 3n = \frac{5}{4}$  ....1)
$2m + 5n = \frac{13}{6}$ ....2)
Eliminasi m
$m + 3n = \frac{5}{4}$    |x2|$2m + 6n = \frac{5}{2}$
$2m + 5n = \frac{13}{6}$|x1|$2m + 5n = \frac{13}{6}$
                                                                              -
                                               $n = \frac{2}{6}$
                                               $ \frac{1}{y + 1} = \frac{2}{6}$
                                               $6 = 2y + 2$
                                               $4 = 2y$
                                               $y = 2$
Eliminasi n
$m + 3n = \frac{5}{4}$    |x5|$5m + 15n = \frac{25}{4}$
$2m + 5n = \frac{13}{6}$|x3|$6m + 15n = \frac{13}{2}$
                                                                              -
                                               $-m = -\frac{1}{4}$
                                               $ \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4}$
                                               $4 = x + 2$
                                               $2 = x$
                                               $x = 2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 2)}

Nah, sekarang cobalah soal-soal sistem persamaan nonlinear dua variabel berikut ini

Soal Latihan
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan nonlinear dua variabel berikut!
1. $2x^{2} - y^{2} = 7$ dan $3x^{2} + 2y^{2}= 14$

2. $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{1}{20}$ dan $\frac{2}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{10}$

3. $3\sqrt{x} - 2\sqrt{y-1} = 10$ dan $2\sqrt{x} - \sqrt{y-1} = 6$

4. $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{y-1} = 1\frac{1}{6}$ dan $\frac{6}{x-1} + \frac{4}{y-1} = 1\frac{2}{3}$

5. $\dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{3}{\sqrt{y}} = 2\dfrac{1}{6}$ dan $\dfrac{5}{\sqrt{x}} - \dfrac{6}{\sqrt{y}} = -1\dfrac{1}{3}$

Demikianlah mengenai menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dua variabel, semoga dapat dipahami dan bermanfaat.

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon