Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dan Metode Penyelesaiannya

Dalam bahasan sebelumnya kita telah membahas mengenai persamaan linear satu variabel. Sebagai kelanjutanya dalam postingan kali ini akan dibahas mengenai Sistem Persamaan Linear Dua Variabel atau sering disingkat dengan SPLDV. Materi prasyarat yang harus dikuasai agar nantinya mudah memahami materi SPLDV adalah mengenai operasi pada bentuk aljabar. Jika anda belum munguasainya atau mungkin sudah lupa silahkan dibuka kembali catatan atau buku yang anda miliki. Namun sebelum membahas SPLDV terlebih dahulu akan dibahas mengenai Persamaan Linear Dua Variabel.

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

Persamaan linear dua variabel adalah bentuk persamaan yang memiliki dua variabel dengan pangkat asing-masing variabelnya adalah satu. Persamaan linear dua variabel memiliki bentuk umum
ax + by = c
Dengan
a = koefisien x
b = koefisien y
c = konstanta
x dan y = variabel
Dimana a dan b $\neq$ 0

Penyelesaian dari persamaan linear dua variabel berupa pasangan nilai x dan y yang memenuhi persamaan itu sendiri. Himpunan dari penyelesaian persamaan linear dapat diperoleh apabila salah satu variabelnya diketahui nilainya. Penyelesaian dari persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam grafik. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 1
Diketahui persamaan linear dua variabel 2x + y = 5. Tentukan himpunan penyelesaiannya untuk x = {2, 3, 4, 5}!
Jawab:
2x + y = 5 atau y = 5 - 2x
x = 2 $\to$ y = 5 - 2(2) = 1
x = 3 $\to$ y = 5 - 2(3) = -1
x = 4 $\to$ y = 5 - 2(4) = -3
x = 5 $\to$ y = 5 - 2(5) = -5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1), (3, -1), (4, -3), (5, -5)}

Contoh 2
Diketahui persamaan linear x - y = 6. Buatlah grafik dari persamaan tersebut untuk x dan y bilangan real!
Jawab:
Membuat grafik persamaan linear duar variabel sama seperti membuat grafik suatu fungsi. Untuk mempermudah dalam menggambarnya, kita akan membuat tabel himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut. Untuk itu ambil sembarang nilai x

Sehingga apabila grafiknya dibuat dalam bidang Cartesius akan menjadi

Selain menegenai persamaan, pertidaksamaan linear dua veriabel juga pernah dibahas sebelumnya pada artikel Cara Membuat Grafik Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linier dua variabel adalah suatu sistem persamaan atau persamaan-persamaan linier dua variabel yang saling berhubungan. Pada umunya SPLDV memiliki bentuk umum
$a_{1}x + b_{1}y = c_1$
$a_{2}x + b_{2}y = c_2$
Dengan
$a_{1} $dan$ a_{2}$ adalah koefisien x
$b_{1} $dan$ b_{2}$ adalah koefisien y
$c_{1} $dan$ c_{2}$ adalah konstanta

Penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua veriabel berupa himpunan pasangan nilai dari kedua variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut. Ada beberapa kondisi yang mungkin terjadi terkait dengan penyelesaian dari suatu sistem persamaan. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya SPLDV merupakan kumpulan persamaan linear dua variabel, apabila kita gambarkan suatu sistem persamaan tersebut dalam diagram cartesius akan berupa garis-garis yang kemungkinan berhimpit, berpotongan, atau sejajar.
1. Garis-Garis Saling Berhimpit
Garis-Garis Saling Berhimpit
Untuk garis-garis maka kondisi ini menyebabkan sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang tak hingga banyaknya. Dalam bentuk persmaanya, ini dapat terjadi apabila persamaan-persamaan tersebut memenuhi
$\dfrac{a_{1}}{a_{2}} = \dfrac{b_{1}}{b_{2}} =\dfrac{c_{1}}{c_{2}}$

2. Garis-Garis Berpotongan pada Satu Titik
 Garis-Garis Berpotongan pada Satu Titik
Apabila ternyata garis-garis yang termasuk dalam sistem persamaan berpotongan pada satu titik, maka sistem memiliki satu penyelesaian yaitu titik potong itu sendiri. Kondisi ini dapat terjadi apabila
$\dfrac{a_{1}}{a_{2}} \neq \dfrac{b_{1}}{b_{2}}$

3. Garis-Garis Sejajar (Tidak Berhimpit maupun Berpotongan)
Garis-Garis Sejajar (Tidak Berhimpit maupun Berpotongan)
Jika kedudukan garis-garis pada sistem persamaan saling sejajar, maka sistem persamaan linear dua variabel tersebut tidak memiliki penyelesaian. Kondisi ini dapat terjadi apabila kedua persamaan memenuhi
$\dfrac{a_{1}}{a_{2}} = \dfrac{b_{1}}{b_{2}} \neq \dfrac{c_{1}}{c_{2}}$

Selain 3 kondisi tersebut, masih ada satu lagi terkait dengan penyelesaian suatu SPLDV. Apabila suatu SPLDV memiliki semua nilai konstanta bernilai 0,
$a_{1}x + b_{1}y = 0$
$a_{2}x + b_{2}y = 0$
maka dikatakan sebagai sistem persamaan homogen yang sudah pasti memiliki penyelesaian. Kemungkinan penyelesaianya ada dua yaitu pasangan yang bernilai 0 (semuanya 0)atau disebut dengan penyelesaian trivial dan jika tidak semuanya bernilai 0 disebut sebagai tak trivial. Dalam bidang cartesius dapat digambarkan sebagai berikut
Sistem persamaan linear homogen trivial
Contoh Sistem Persamaan Mempunyai Penyelesain Trivial

Sistem persamaan linear homogen tak trivial
Contoh Sistem Persamaan Mempunyai Penyelesaian Tak Trivial


Metode Penyelesaian (SPLDV)

Dalam menyelesaiakan suatu sistem persamaan linear dua variabel kita dapat menggunakan 4 metode, yaitu metode grafik, metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan (eliminasi substitusi. Dari keempat metode tadi yang paling sering digunakan adalah metode gabungan. Masing-masing dari metode tadi memiliki keunggulan dan kekurangan tersendiri, nah sekarang tinggal pendapat kita sendiri yang mana lebih dipahami sebaiknya itu yang digunakan. Namun, tidak ada salahnya kita juga mempelajari keempatnya.

1. Metode Grafik
Bagi yang suka menggambar dan tidak ingin pusing dengan perhitungan aljabar, mungkin metode ini adalah yang paling pas digunakan. Sistem persamaan dua variabel merupukan kumpulan persamaan-persamaan linear yang apabila digambarkan dalam diagram cartesius maka akan berupa garis lurus. Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik ditunjukkan oleh titik potong dari garris-garis yang termasuk kedalam sistem persamaan linear dua variabel itu sendiri.

Langkah - langkah yang dilakukan dalam menyelsaikan suatu SPLDV dengan metode grafik adalah

  1. Membuat tabel bantu (bisa juga dengan tabel bantu titik potong sumbu x dan sumbu y)
  2. Menggambar semua grafik pada sebuah diagram cartesius 
  3. Menentukan titik potong grafik yang merupakan penyelesaian SPLDV tersebut
Kelemahan dari metode ini adalah dalam menentukan titik potong garis, karena dalam menggambarnya bisa saja terjadi kesalahan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel 3x + 2y = 12 dan x – y = -1 dengan menggunakkan metode grafik!
Penyelesaian
Tabel
Menggunakan titik potong sumbu x (y = 0) dan sumbu y (x = 0)
3x + 2y = 12
Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik
x - y = -1
Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik
Grafik
Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan dua variabel tersebut adalah (2, 3)

Contoh 4
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaa linear dua variabel -x + 3y = 6 dan x = -3y adalah ....
Penyelesaian
Tabel
-x + 3y = 6
Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik
x = -3y (mengambil sembarang nilai x)
Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik
Grafik
Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan dua variabel tersebut adalah (-3, 1)

Semua contoh di atas memang sengaja dibuat agar menghasilkan himpunan penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat (agar mudah dipahami). Akan menjadi masalah ketika hasilnya adalah bilangan pecahan atau selain bilangan bulat. Jika kita menggambar secara manual, tingkat kesalahanya mungkin tinggi. Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat anda bisa menggunakan software matematika seperti MathLab, Mapel, GeoGebra, dan masih banyak lagi.

2. Metode Substitusi
Substitusi artinya mengganti, metode substitusi yang dimaksud di sini adalah mengganti salah satu variabel untuk mendapatkan nilai dari variabel yang lain. Kemampuan operasi aljabar sangat diperlukan jika ingin menggunakan metode substitusi. Kelemahan dari metode ini adalah ketika kita harus mensubstitusi aljabar bentuk pecahan. Namun, hal itu tentu tidak menjadi masalah jika telah menguasai konsep aljabar dengan baik. Langkah-langkah dalam menyelesaikan suatu SPLDV dengan menggunakan metode substitusi adalah

  1. Ubahlah salah satu persamaan menjadi bentuk x = .... atau y = .... 
  2. Kemudian substitusi persamaan tersebut ke persamaan lainnya
  3. Kemudian substitusi lagi hasil persamaan pada langkah kedua ke salah satu persamaan 

Dengan demikian kita akan memeperoleh penyelesaian dari SPLDV yang sedang kita kerjakan. Untuk lebih jelasnya mengenai cara menentukan penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode substitusi berikut ini beberapa contoh soalnya

Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel x + 2y = 6 dan 2x - 3y = -2 dengan metode substitusi!
Penyelesaian
x + 2y = 6 $\to$ x = 6 - 2y ........1)
2x - 3y = -2 .........2)
Substitusi persamaan 1) ke persamaan 2)
2x - 3y = -2
2(6 -2y) - 3y = -2
12 - 4y - 3y = -2
-7y = -14
y = 2

Substitusi y = 2 ke persamaan 1)
x = 6 - 2y
x = 6 - 2(2)
x = 2
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan dua variabel tersebut adalah (2, 2)

Contoh 6
Dengan metode substitusi, tentukanlah penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel 2x + 3y = 7 dan 3x - 2y = 4!
Penyelesaian
2x + 3y = 7 $\to$ $y = \dfrac{7 - 2x}{3}$ .......1)
3x - 2y = 4 .......2)
Substitusi persamaan 1) ke persamaan 2
3x - 2y = 4
3x - $2(\dfrac{7 - 2x}{3})$ = 4
$\dfrac{9x}{3} - \dfrac{14 - 4x}{3} = 4$
$\dfrac{9x - 14 + 4x}{3} = 4$
13x - 14 = 12
13x = 12 + 14
13x = 16
x = 2

Substitusi x = 2 ke persamaan 1)
$y = \dfrac{7 - 2x}{3}$
$y = \dfrac{7 - 2(2)}{3}$
y = 1
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan dua variabel tersebut adalah (2, 1)

3. Metode Eliminasi
Mungkin anda pernah mendengar kata eliminasi, eliminasi kurang lebih dapat diartikan sebagai menghilangkan. Metode eliminasi dalam SPLDV dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya untuk mendapatkan nilai variabel lain. Untuk menghilangkannya biasanya digunakan tehnik operasi penjumlahan atau pengurangan bentuk aljabar dengan cara bersusun. Langkah-langkah yang dilakukan jika ingin menyelesaikan suatu SPLDV dengan metode eliminasi adalah

  1. Menyusun bentuk kedua bersamaan dalam bentuk umumnya
  2. Memilih variabel yang akan dieliminasi dan mengeliminasi (menjumlah atau mengurangkan kedua persamaan) variabel yang dipilih dengan cara menyamakan koefisiennya terlebih dahulu. Mengenai kapan kedua persamaan dijumlah atau dikurang lebih rinci telah dibahas pada artikel Kapan Eliminasi itu dikurang dan ditambah?
  3. Melanjutkan mengeliminasi untuk variabel yang lain

Setelah melakukan dua eliminasi terhadap kedua variabel kita akan mendapatkan himpunan penyelesaian dari SPLDV yang sedang kita cari. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut ini

Contoh 7
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel y = 11 - 2x dan 3x - 4y -11 = 0 dengan metode eliminasi!
Penyelesaian
y = 11 - 2x
3x - 4y -11 = 0
Karena keduanya belum dalam bentuk umum suatu persamaan linear dua variabel, maka kita ubah terlebih dahulu menjadi
2x + y = 11
3x - 4y = 11
Eliminasi x
2x + y = 11  |x3| 6x + 3y = 33
3x - 4y = 11 |x2| 6x - 8y = 22  -
                                  11y = 11
                                      y = 1
Eliminasi y
2x + y = 11  |x4| 8x + 4y = 44
3x - 4y = 11 |x1| 3x - 4y = 11  +
                                  11x = 55
                                      x = 5
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan dua variabel tersebut adalah (5, 1)

Contoh 8
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel x + 2y = 10 dan -2x + 3y = 1 dengan metode eliminasi!
Penyelesaian
Eliminasi x
x + 2y = 10   |x2|  2x + 4y = 20
-2x + 3y = 1  |x1|  -2x + 3y = 1   +
                                       7y = 21
                                         y = 3

Eliminasi y
x + 2y = 10   |x3|  3x + 6y = 30
-2x + 3y = 1  |x2|  -4x + 6y = 2   -
                                       7x = 28
                                         x = 4
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan dua variabel tersebut adalah (5, 1)

4. Metode Gabungan (Eliminasi Substitusi)
Metode gabungan merupaka kombinasi penggunaan metode eliminasi dan substitusi. Dimulai dengan menggunakan metode eliminasi terhadap suatu SPLDV dan terakhir dilanjutkan dengan menggunakan metode substitusi.

Contoh 9
Jika x dan y merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel 5x - 3y = 13 dan 3x + y = 5, maka nilai dari 2x + 5y adalah ...
Penyelesaian
5x - 3y = 13 ......1)
3x + y = 5  ........2)
Eliminasi y
5x - 3y = 13   |x1|  5x - 3y = 13
3x + y = 5      |x3|  9x + 3y = 15   +
                                      14x = 28
                                         x = 2
Substitusi x = 2 ke persamaan 2)
3x + y = 5
3(2) + y = 5
6 + y = 5
y = -1

2x + 5y = 2(2) + 5(-1) = 4 - 5 = -1
Jadi, nilai dari 2x + 5y adalah -1

Nah demikianlah tadi mengenai metode-metode yang digunakan dalam menyelesaikan suat sistem persamaan linear dua variabel. Jika ada pertanyaan metode mana yang sebaiknya digunakan, jawabanya kembali ke pada diri masing-masing dan pertimbangkanlah juga bentuk masalah yang dihadapi. Mengenai hal tersebut, sebelumnya juga pernah dibahas pada artikel Memilih Metode Yang Paling Cepat Dalam Menyelesaikan SPLDV

Selain soal-soal yang telah dibahas sebelunya, beberapa soal lain yang mungkin akan mebingungkan and soal-soal dalam bentuk pecahan baik itu koefisien dari persamaannya ataupun persamaannya yang berbentuk pecahan. Untuk itu, berikut saya akan sajikan soal-soal terkait hal tersebut disertai dengan cara saya menyelesaikannya. Jika anda menemukan cara penyelesaian yang lain silahkan beri komentar pada artikel ini

Contoh 10
Himpunan penyelesaian dari sitem persamaan $\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y = 1$ dan $\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = \frac{3}{2}$ adalah ...
Penyelesaian
$\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y = 1$
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = \frac{3}{2}$
Langkah pertama jadikan semua koefisien menjadi bilangan bulat dengan mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama (dengan KPK penyebut)
$\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y = 1$ (dikali 6) 4x - 3y = 6 ....1)
$\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = \frac{3}{2}$ (dikali 12) 4x + 3y = 18 ....2)
Eliminasi x
4x - 3y = 6
4x + 3y = 18   -
       -6y = -12
         y = 2

Substitusi y = 2 ke persamaan 1)
4x - 3y = 6
4x - 3(2) = 6
4x = 12
x = 3
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan dua variabel tersebut adalah (3, 2)

Demikanlah tadi mengenai sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dan metode penyelesaiannya. Dalam artikel lainnya akan dibaha mengenai Menyelesaikan Masalah Sehari-hari (Soal Cerita) Terkait Dengan SPLDV.

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan
EmoticonEmoticon