Penerapan Fungsi Eksponen Dalam Bidang Ekonomi

Fungsi pertumbuhan merupakan salah satu contoh aplikasi fungsi eksponen dalam bidang ekonomi. Sifat utama fungsi ini adalah meningkat secara monoton. Fungsi pertumbuhan mempunyai beberapa bentuk, dengan atau tanpa asimtut yang merupakan batas atas.
Dalam karya tulis ini fungsi pertumbuhan yang dimaksud hanya terbatas pada fungsi bunga majemuk, pertumbuhan penduduk atau biologis, kurva (fungsi) Gompertz, dan kurva (fungsi) pengajaran.
1. Fungsi Bunga Majemuk
Besarnya modal yang dibungakan tergantung dari waktu lamanya modal dibungakan asal tingkat bunga konstan. Jika modal (pokok) sebesar clip_image002[4] dibungakan clip_image004 kali per tahun dengan bunga sebesar 100clip_image006% (atau r) per tahun maka setelah clip_image008 tahun, modal tersebut akan menjadi:
clip_image010
Apabila clip_image004[1] sangat besar yaitu clip_image012, maksudnya bunga yang dibayarkan secara kontinyu atau bunga ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaannya akan menjadi:
clip_image014
Dengan,
clip_image002[5] = Modal awal atau besar modal pada tahu yang ke nol.
clip_image016 = Modal akhir atau besar modal pada tahun yang ke clip_image008[1]
clip_image019 = Bilangan basis dalam logaritma natural clip_image021
clip_image004[2] = Kelipatan bunga yang dibayar per tahun
clip_image008[2] = Waktu lamanya modal (pokok) dibungakan
clip_image006[1] = Besarnya bunga per tahun
Jikan fungsi clip_image014[1] dibuat grafiknya, secara umum bentuknya sebagai berikut:
clip_image026
Gambar 02 Grafik Fungsi Bunga Majemuk Dengan clip_image012[1]
Contoh:
Seorang petani membutuhkan uang sebesar 5 juta rupiah pada 10 tahun yang akan datang. Berapa jumlah uang yang harus ditabung mulai sekarang dengan bunga 24% per tahun untuk memperoleh jumlah uang yang diharapkan?
Penyelesaian:
Diketahui: clip_image016[1] = 5000000
clip_image008[3] = 10 tahun
clip_image006[2] = 24 % = 0,24
clip_image004[3] = 1
Ditanyakan:clip_image002[6] = ...?
Jawab:
clip_image010[1]
clip_image028
clip_image030
clip_image032
clip_image034
Jadi, uang yang harus ditabung mulai sekarang sebesar Rp. 581772,49
 
2. Pertumbuhan Penduduk
Bila penduduk suatu negara (daerah) pada suatu saat clip_image036 mengalami pertumbuhan sebesar 100clip_image006[3]% per tahun (atau clip_image006[4] per tahun), maka setelah t tahun, jumlah penduduk menjadi:
clip_image040
Bila suatu negara (daerah) dengan jumlah penduduk yang besar, maka pertumbuhan penduduk berlangsung hampir kontinyu, jumlah penduduk setelah t tahun menjadi:
clip_image042
Misalkan clip_image044 pada persamaan clip_image040[1]sama dengan clip_image046 yaitu clip_image048, maka persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut.
clip_image050
clip_image052 = jumlah penduduk pada tahun yang ke t
clip_image036[1] = jumlah penduduk pada tahun awal yaitu tahun yang ke nol
clip_image006[5] = tingkat pertumbuhan
clip_image046[1] = clip_image044[1] = tingkat pertumbuhan ditambah 1
Contoh:
Pada tahun 2001 penduduk sebuah kota adalah 629039 jiwa. Sedangkan pada tahun 2006 jumlah penduduknya adalah 771186 jiwa.
a. Berapa tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut?
b. Perkirakan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2016!
Penyelesaian:
Diketahui:
 clip_image036[2] = 629039
clip_image052[1] = 771186 (tahun 2006)
t = 5 (dari 2001 sampai dengan 2006)
Ditanyakan:
a. clip_image006[6] = ...?
b. clip_image052[2] = ...? (tahun 2016)
Jawab:
a. clip_image040[2]
clip_image057
clip_image059
clip_image061
clip_image063
clip_image065
clip_image067
clip_image069
clip_image071
b. t = 15 (dari 2001 sampai dengan 2016)
Karena t cukup besar maka untuk mempermudah perhitungan kita gunakan logaritma, sehingga:
clip_image073
clip_image075
clip_image077
clip_image079
clip_image081
clip_image083
clip_image085
clip_image087
clip_image089
clip_image091
clip_image093
clip_image059[1]
clip_image061[1]
clip_image063[1]
clip_image065[1]
clip_image067[1]
clip_image069[1]
clip_image071[1]
 
3. Fungsi Gompertz
Fungsi ini menggambarkan perkembangan yang lambat waktu mulai tumbuh, dan waktu mendekati asimtut batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan sebagai berikut.
clip_image095
Keterangan:
clip_image097 = jumlah penduduk pada tahun ke clip_image099
clip_image046[2] = tingkat pertumbuhan (dengan clip_image102)
clip_image104 = proporsi pertumbuhan awal
clip_image106 = tingkat pertumbuhan dewasa (yaitu asimtut tertinggi)
clip_image099[1] = indeks waktu
Sifat utama dari fungsi Gompertz digambarkan dengan dua jenis kurva di bawah ini.
Tipe I: clip_image108
Tipe II: clip_image110
clip_image112
Gambar 03 Kurva Gompertz
Kurva I, untuk nilai clip_image099[2] kecil yang positif kurva cembung tehadap sumbu t (berakselerasi positif) dan untuk nilai clip_image099[3] besar yang positif, kurva cekung tehadap sumbu clip_image099[4] (berakselerasi negatif). Sedangkan kurva II, untuk semua nilai clip_image099[5] positif, kurva cekung terhadap sumbu clip_image099[6] (berakselerasi negatif).
Kurva yang ditemukan Gompertz ini dalam bidang ekonomi digunakan untuk fungsi pendapatan total dan produksi.
Contoh:
Penjualan setiap bulan dari sebuah perusahaan memenuhi fungsi
clip_image114clip_image116
p adalah jumlah pengeluaran untuk promosi dan advertensi. clip_image118 adalah penjumlahan atau omzet setiap bulan.
a. Berapa besar penjualan bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi sama dengan nol atau berapa besar penjualan awalnya?
b. Berapa penjualan maksimumnya?
c. Berapa besar penjualannya bila pengeluaran untukpromosi dan avertensi 5?
Penyelesaian:
Diketahui:clip_image116[1]clip_image120
Ditanyakan:
a. clip_image122 jika clip_image124
b. clip_image118[1] maksimum =.....? (clip_image127)
c. clip_image122[1] jika clip_image129
Jawab:
a. Jika clip_image124[1], maka clip_image118[2] adalah:
clip_image116[2]
clip_image132
clip_image134
clip_image136
Jadi penjualan awalnya adalah 100
b. Penjualan maksimum terjadi saat tingkat pertumbuhannya nol clip_image138
clip_image140
clip_image142
clip_image144
Jadi, penjualan maksimunya adalah 1000
c. Jika clip_image129[1], maka clip_image118[3] adalah:
clip_image116[3]
clip_image146
clip_image148
clip_image150
clip_image152
Jadi, besar penjualannya bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi 5 adalah clip_image154
 
4. Fungsi Pengajaran
Fungsi pengajaran umumnya dipakai oleh psikolog untuk menggambarkan taraf pertumbuhan pendidikan manusia, yang sifatnya meningkat cepat pada awalnya dan semakin lambat ketika mendekati asimtut batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan sebagai berikut.
clip_image156
clip_image106[1], clip_image104[1], dan clip_image004[4] adalah konstanta positif
clip_image161 = keaktifan belajar
clip_image163 = variabel pendorong
Bentuk grafiknya secara umum adalah sebagai berikut.
clip_image165
Gambar 04 Grafik Fungsi Pengajaran
Fungsi pengajaran dalam ewkonomi dapat digunakan untuk menjelaskan fungsi biaya dan produksi.
Contoh:
Biaya produksi total (dalam jutaan rupiah) dari sebuah perusahaan dapat dinyatakan sebagai berikut.
clip_image167
clip_image106[2] menyatakan biaya produksi dan clip_image170 menyatakan kuantitas produksi
a. Berapa besar biaya tetapnya?
b. Bila berproduksi 100 unit, berapa besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya?
Penyelesaian:
Diketahui: clip_image167[1]
Ditanyakan:
a. clip_image106[3]=......? jika clip_image173
b. Besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya =......? jika clip_image175
Jawab:
a. Jika clip_image173[1], maka clip_image106[4]adalah
clip_image167[2]
clip_image177
clip_image179
clip_image181
Jadi biaya tetapnya adalah 50 juta rupiah
b. Jika clip_image175[1], maka clip_image106[5] total adalah
clip_image167[3]
clip_image185
clip_image187
clip_image189
clip_image191
clip_image193
Jadi, besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap biaya produksi totalnya (clip_image175[2]) adalah:
clip_image195
clip_image197



























































































































































3 Responses to "Penerapan Fungsi Eksponen Dalam Bidang Ekonomi"

  1. Wahh keren gan, lengkap banget artikel'a :D
    Kunjungi juga ya
    Ikubaru Blogzia

    ReplyDelete
  2. sayang sekli gak bisa di copy,padahal ada tugas buat cari fungsi eksponen dan logaritma

    ReplyDelete

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel