TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi geometri adalah proses pemindahan atau pembentukan hasil suatu bayangan dari suatu titik atau pada kurva. Yang dimaksud perpindahan dalam transformasi geometri adalah posisi dari suatu posisi awal (x , y) ke posisi lain (x’ , y’). Jenis transformasi geometri yaitu translasi (pergeseran), dilatasi (perkalian), transformasi bersesuaian matriks, rotasi (perputaran), dan refleksi (pencerminan)
Setelah mempelajari materi pada halaman ini diharapkan peserta didik dapat
  • Menjelaskan transformasi Translasi
  • Menjelaskan transformasi Refleksi
  • Menjelaskan transformasi Rotasi (Perputaran)
  • Menjelaskan transformasi Dilatasi
  • Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan translasi
  • Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan refleksi
  • Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rotasi
  • Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan dilatasi

Daftar Isi


A. Translasi

Translasi yang akan dibahas dalam artikel ini bukanlah translasi dalam artian penerjemahan suatu bahasa asing. Translasi dalam hal ini merupakan sebuah pergeseran yang merupakan salah satu sub materi Geometri Transformasi. Lebih lanjut, translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu. Suatu objek yang ditranslasikan memiliki sifat tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran namun hanya mengalami perubahan posisi

Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, Translasi titik A(x, y) dengan T(a, b) menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A'(x + a, y + b), secara notasi ditulis:
$A(x, y) \overset{T\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(x+a, y+b)$

Contoh Soal
Nah agar lebih memahami dan lebih jelanya, perhatikan contoh soal berikut
Contoh 1
Diketahui titik A dengan koordinat (2, 3). Tentukan posisi A apabila ditranslasikan oleh $T\begin{pmatrix}
3\\ 4

\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
$A(2, 3) \overset{T\begin{pmatrix}
3\\ 4

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(5, 7)$
Jadi, posisi A setelah ditranslasi adalah (5, 7)

Contoh 2
Translasi $T\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$ memetakan titik A(1, 3) ke A'(4, -1). Tentukanlah nilai a dan b!
Penyelesaian
$A(1, 3) \overset{T\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(1+a, 3+b)$
Sehingga, diperoleh
1 + a = 4
a = 3
dan
3 + b = -1
b = -4
Jadi, nilai a = 3 dan b = -4

Selain titik, translasi dapat dilakukan pada sebuah bangun. Untuk menentukan hasil translasi suatu bangun, kita harus mentranslasikan setiap titik sudut dari bangun tersebut.

Contoh 3 
Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut A (1, 2), B (3, 4), dan C (5, 7). Tentukan koordinat segitiga ABC jika digeser oleh $T\begin{pmatrix}
-2 \\ 3

\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
$A(1, 2) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(-1, 5)$
$B(3, 4) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3

\end{pmatrix}}{\rightarrow} B'(1, 7)$
$C(5, 7) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3

\end{pmatrix}}{\rightarrow} C'(3, 10)$
Jadi, koordinat segitiga ABC setelah digeser adalah A'(-1, 5), B'(1, 7), dan C'(3, 10)

Apabila titik A(x, y) ditranslasikan dengan $T_{1}$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}$ menghasilkan bayangan A". Hal ini termasuk komposisi transformasi yang merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi $T_{1}$ akan dilanjutkan ke $T_{2}$ maka ditulis $T_{2}$ o $T_{1}$

Contoh 4
Tentukan bayang dari titik A(1, 4) yang digeser oleh $T_{1}$(2, 5) dan dilanjutkan lagi oleh $T_{2}$(-1, 3)!
Penyelesaian
$A(1, 4) \overset{T_{1} \begin{pmatrix}
2\\ 5

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(3, 9)$
$A'(3, 9) \overset{T_{2} \begin{pmatrix}
-1\\ 3

\end{pmatrix}}{\rightarrow} A''(2, 12)$
Jadi, bayangan dari A adalah A''(2, 12)

Contoh berikut akan membahas mengenai translasi pada suatu persamaan garis 

Contoh 5
Tentukan bayangan garis 3x + 2y - 3 = 0 ditranslasikan oleh T(1, -2)!
Penyelesaian
$(x, y) \overset{T \begin{pmatrix}
1\\ -2

\end{pmatrix}}{\rightarrow} (x', y')$
Sehingga, diperoleh
x' = x + 1 --> x = x' - 1
y' = y + (-2) --> y = y' + 2
Substitusi x dan y ke persamaan awal
3(x' - 1) + 2(y' + 2) - 3 = 0
3x' - 3 + 2y' + 4 - 3 = 0
3x' + 2y' - 2 = 0
Jadi, bayangan garis 3x + 2y - 3 = 0 adalah 3x + 2y - 2 = 0

Cobalah game/permainan translasi di bawah untuk melatih pengetahuan

Game Translasi



B. Refleksi

Bercermin mungkin menjadi aktifitas harian bagi setiap orang. Ketika bercermin yang kita lihat adalah bayangan kita pada cermin yang dapat dipastikan mirip dan tanpa perubahan apapun. Dalam fisika bayangan yang berada dalam cermin tersebut dikatakan "maya". Posisi bagian tubuh pada bayangan umunya terbalik misalnya tangan kanan yang terletak di kiri namun, untuk posisi kepala dan kaki tidak ikut terbalik. Jarak antara bayangan dengan cermin terlihat sama dengan jarak antara tubuh kita dengan cermin.
Geometri transformasi juga mempelajari pencerminan atau dikenal pula dengan refleksi. Refleksi atau pencerminan merupakan salah satu transformasi yang juga tidak merubah ukuran maupun bentuk sama halnya dengan pergeseran atau translasi. Refleksi adalah suatu transformasi dengan memasangkan setiap titik pada bidang yang menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik tersebut.

Refleksi suatu bangun memiliki sifat-sifat
  • Bangun dengan bayangannya adalah kongruen, sehingga luas dan kelilingnya juga sama
  • Jarak bangun ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin
  • sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.
Setelah membaca sekilas mengenai pengertian refleksi di atas cobalah permainan True or False berikut

Game Refleksi



Nah, dengan menggunakan sifat-sifat di atas kita dapat menentukan bayangan suatu bangun. Untuk lebih jelasnya berikut ini adalah beberapa pencerminan dalam bidang kartesius.
 

1. Pencerminan Terhadap Sumbu-x

Pencerminan terhadap sumbu-x yang dimaksudkan adalah bahwa sumbu-x pada bidang kartesius berperan sebagai cermin. Misalkan A(a, b) merupakan satu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik A terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan yaitu A'(a', b') dimana a' = a dan b' = -b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Dari gambar terlihat jika hanya nilai ordinat yang berubah pada bayangan sedangkan nilai absisnya sama dengan yang asli. Dengan demikian, pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-x dapat ditulis
$A(a, b) \xrightarrow[]{sumbu-x} A'(a, -b)$

2. Pencerminan Terhadap Sumbu-y

Dalam hal ini, sumbu-y sebagai cermin. Misalkan B(a, b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik B terhadap sumbu-x akan menghasilkan bayangan B'(a', b') dengan a' = -a dan b' = b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik B(a, b) terhadap sumbu-y dapat ditulis
$B(a, b) \xrightarrow[]{sumbu-y} B'(-a, b)$

3. Pencerminan Terhadap Garis y = x

Misalkan titik C(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik C terhadap garis x = y menghasilkan bayangan C'(a', b') dengan a' = b dan b' = a. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik C(a, b) terhadap garis y = x dapat ditulis
$C(a, b) \xrightarrow[]{y = x} C'(b, a)$

4. Pencerminan Terhadap Garis y = -x

Misalkan titik D(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik D terhadap garis x = y menghasilkan bayangan D'(a', b') dengan a' = -b dan b' = -a. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik D(a, b) terhadap garis y = -x dapat ditulis
$D(a, b) \xrightarrow[]{y = -x} D'(-b, -a)$

5. Pencerminan Terhadap Garis x = h

Misalkan titik E(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik E terhadap garis x = h menghasilkan bayangan E'(a', b') dengan a' = 2h - a dan b' = b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik E(a, b) terhadap garis x = h dapat ditulis
$E(a, b) \xrightarrow[]{x = h} E'(2h - a, b)$

6. Pencerminan Terhadap Garis y = k

Misalkan titik F(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik F terhadap garis y = k menghasilkan bayangan F'(a', b') dengan a' = a dan b' = 2k - b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Pencerminan titik F(a, b) terhadap garis y = k dapat ditulis
$F(a, b) \xrightarrow[]{y = k} F'(a, 2k - b)$

7. Pencerminan Terhadap Titik O(0,0)

Pencerminan tidak selalu terhadap garis atau sumbu, pencerminan dapat dilakukan terhadap titik. Misalkan titik G(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik G terhadap titik O(0, 0) atau titik asal akan menghasilkan bayangan G'(a', b') dengan a' = -a dan b' = -b. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Perhatikan, apabila melalui titik G dan O dibuat suatu garis, bayangan dari G adalah G' dimana panjang GO = G'O dan titik G, O, dan G' adalah titik-titik yang segaris. Pencerminan titik G(a, b) terhadap titik asal O(0,0) dapat ditulis
$G(a, b) \xrightarrow[]{O(0,0)} G'(-a, - b)$

8. Pencerminan Terhadap Titik T(p, q)

Pencerminan terhadap titik T(p, q) prinsipnya sama seperti pencerminan terhadap titik asal. Misalkan titik H(a,b) merupakan suatu titik pada bidang kartesius, pencerminan titik H terhadap titik T(p, q) atau titik asal akan menghasilkan bayangan H'(a', b') dengan a' = 2p - a dan b' = 2q - b.  Pencerminan titik H(a, b) terhadap titik asal T(p, q) dapat ditulis
$H(a, b) \xrightarrow[]{T(p, q)} H'(2p - a, 2p - b)$

Semua pencerminan di atas, dapat dilihat dengan mudah dengan menggunakan tabel berikut. Misalkan (x, y) merupakan titik yang akan dicerminkan maka

No Pencerminan Terhadap Bayangan
1 Sumbu x (x, -y)
2 Sumbu y (-x, y)
3 y = x (y, x)
4 y = -x (-y, -x)
5 x = h (2h - x, y)
6 y = k (x, 2k - y)
7 O(0, 0) (-x, -y)
8 T(p, q) (2p - x, 2q - y)

Dengan menggunakan tabel di atas, kita dapat melihat rumus pencerminan dengan mudah dan untuk menyelesaikan soal-soal kita tinggal melihat tabel tersebut. Agar lebih memahami penggunaanya dalam soal, berikut akan disajikan beberapa contoh soal terkait pencerminan atau refleksi.

Contoh Soal

Contoh 1
Tentukan bayangan titik A(2, 3) yang dicerminkan oleh garis y = -x!
Penyelesaian
A(2, 3) berarti x = 2 dan y = 3
x' = -y = -3
y' = -x = -2
Jadi, bayangan titik A(2, 3) adalah A'(-3, -2)

Contoh 2
Jika bayangan pencerminan terhadap titik P(-2, 1) adalah B'(6, 5). Tentukan titik B!
Penyelesaian
B'(6, 5) berarti x' = 6 dan y' = 5
x' = 2p - x , sehingga x = 2p - x' = 2(-2) - 6 = -10
y' = 2q - y, sehingga y = 2q - y' = 2(1) - 5 = -3
Jadi, titik B adalah (-10, -3)

Contoh 3
Tentukan bayangan dari garis y = 2x - 3 yang dicerminkan terhadap garis x = 3!
Penyelesaian
Pencerminan terhadap garis x = 3
x' = 2h - x, sehingga x = 2h - x' = 2(3) - x' = 6 - x'
y' = y atau y = y'
Substitusi x dan y ke persamaan garis
y' = 2(6 - x') - 3
y' = 12 - 2x' - 3
y' = -2x' + 9
Jadi, bayangan dari garis y = 2x - 3 adalah y = -2x + 9

Contoh 4
Tentukan bayangan lingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 2x + 4y - 3 = 0 yang direfleksikan terhadap sumbu-y!
Penyelesaian
Pencerminan terhadap sumbu-y
x' = -x, sehingga x = -x'
y' = y atau y = y'
Substitusi  x dan y ke dalam persamaan lingkaran
(-x')$^{2}$ + y'$^{2}$ - 2(-x') + 4y' - 3 = 0
x'$^{2}$ + y'$^{2}$ + 2x' + 4y' - 3 = 0
Jadi, bayangan lingkaran adalah x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2x + 4y - 3 = 0

Sebenarnya, masih ada pencerminan yang belum di bahas yaitu pencerminan terhadap y = mx + c dan y = mx. Mengenai hal itu akan dibahas pada artikel yang lain. Demikianlah bahasan mengenai refleksi atau pencerminan yang meliputi pencerminan terhadap sumbu-x, sumbu-y, garis x = y, garis y = -x, garis x = h, garis y = k, titik asal O(0, 0),  dan terhadap titik T(p, q).

C. Rotasi

Rotasi adalah perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap. Rotasi dapat kita lihat contohnya perputaran gasing, perputaran bumi pada porosnya, bahkan matahari pun juga berotasi. Rotasi matahari berlansung selama 27 hari dalam 1 periode. Namun, rotasi kali ini bukan membahas mengenai rotasi pada gasing, bumi, ataupun matahari. Rotasi yang akan dibahas berkaitan dengan geometri transformasi.
Rotasi Bumi

Rotasi dalam kaitan geometri transformasi adalah suatu transformasi yang memasangkan titik ke himpunan titik yang lainya dengan cara memutar. Bayangan hasil rotasi akan kongruen dengan aslinya sehingga Rotasi termasuk transformasi isometri sama seperti Translasi (Perpindahan) dan Refleksi (pencerminan)

Rotasi pada suatu objek ditentukan oleh beberapa faktor yaitu
  1. Pusat Rotasi, yaitu berupa titik yang digunakan sebagai pusat dari rotasi
  2. Sudut Rotasi, yaitu besar sudut yang digunakan untuk menentukan jauhnya rotasi
  3. Arah Rotasi, dalam hal ini arah rotasi dapat bertanda positif yang maksudnya berlawanan  dengan arah jarum jam dan bertanda negatif yang maksudnya adalah serarah dengan jarum jam.
Dalam koodinat kartesius rotasi menurut sumbu atau pusatnya dibedakan menjadi dua yaitu rotasi dengan pusat di O(0, 0) dan rotasi dengan pusat di A(a, b)

Rotasi Dengan Pusat di O(0, 0)

Perhatikan gambar di bawah!
Dari gambar terlihat bahwa titik P dirotasi sejauh $\alpha$ terhadap titik pustat O(0, 0). $\theta$ adalah sudut antara sumbu-x dengan OP. P' adalah bayangan dari P dan r adalah jarak antara pusat dengan titik P dimana OP = OP' = r. Rotasi tersebut dinotasikan dengan
$P(x, y) \xrightarrow[]{R(O, \alpha )} P'(x', y')$

Sudut-sudut besar rotasi yang mudah diselesaikan diantaranya -270$^{o}$, -180$^{o}$, -90$^{o}$, 0$^{o}$, 90$^{o}$, 180$^{o}$, dan 270$^{o}$. Sehingga didapat hasil rotasi dengan pusat di O(0, 0) seperti dalam tabel berikut

No Rotasi Bayangan
1 R(O, -270$^{o}$) (-y, x)
2 R(O, -180$^{o}$) (-x, -y)
3 R(O, -90$^{o}$) (y, -x)
4 R(O, 0$^{o}$) (x, y)
5 R(O, 90$^{o}$) (-y, x)
6 R(O, 180$^{o}$) (-x, -y)
7 R(O, 270$^{o}$) (y, -x)
Secara geometris, rotasi dapat digambarkan melalui simulasi berikut

Contoh Soal

Untuk lebih jelasnya mengenai rotasi dengan pusat di O(0, 0) perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Titik P(2, 10) dirotasi $\frac{\pi}{3}$  dengan pusat putar O(0, 0).
Penyelesaian
P(2, 10) maka x = 2 dan y = 10
sin $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
cos $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2} $
x' = x cos$\alpha$ - y sin$\alpha$
x' = 2 cos$\frac{\pi}{3}$ - y sin$\frac{\pi}{3}$
x' = 2 $\times$$\frac{1}{2} $  - 10 $\times$$\frac{1}{2} \sqrt{3}$
x' = 1 - 5$\sqrt{3}$

y' = x sin$\alpha$ + y cos$\alpha$
y' = 2 sin$\frac{\pi}{3}$ + 10 cos$\frac{\pi}{3}$
y' = 2 $\times$$\frac{1}{2}\sqrt{3} $  + 10 $\times$$\frac{1}{2}$
y' = $\sqrt{3} $ + 5
Jadi, bayangan P adalah (1 - 5$\sqrt{3}$, $\sqrt{3} $ + 5)

Contoh 2 
Tentukan bayangan garis x - y + 3 = 0 dirotasi sebesar 90$^{o}$ dengan pusat putar pada O(0, 0)
Penyelesaian
Rotasi 90$^{o}$ dengan pusat putar pada O(0, 0), maka
x' = -y atau y = -x'
y' = x atau x = y'

Sehingga bayangannya
y' - (-x') + 3 = 0
x' + y' + 3 = 0
Jadi, bayangan garis  x - y + 3 = 0 adalah x + y + 3 = 0

Agar lebih memahami materi Rotasi cobalah game di bawah

Game Rotasi


D. Dilatasi

Transformasi yang keempat dalam geometri transformasi adalah dilatasi. Istilah dilatasi tidak hanya dikenal dalam matematika. Dilatasi juga dikenal dalam bidang kesehatan serta dalam bidang arsitektur. Dalam ilmu kesehatan, dilatasi merupakan pelebaran atau peregangan struktur tubular. Contoh dilatasi dalam bidang kesehatan adalah dilatasi pembuluh darah oleh obat-obatan yang dimaksudkan untuk menurunkan tekanan darah. Pada bidang arsitektur, dilatasi adalah sebuah sambungan/garis pada sebuah bangunan yang karena sesuatu hal memiliki sistem struktur berbeda.

Dilatasi dalam matematika sering juga disebut dengan perkalian. Dilatasi adalah suatu transformasi yang merubah ukuran baik itu memperbesar atau memperkecil suatu bangun, namun tidak mengubah bentuk bangunnya. Dengan demikian dilatasi dikatakan sebagai transformasi non isometri tidak seperti transformasi lainnya yaitu translasi, refleksi dan rotasi.

Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi serta dilatasi memiliki sifat-sifat sebagai berikut
  • Invers dari dilatasi AB --> A' B' adalah A' B' --> AB
  • Dilatasi tidak mempertahankan ukuran, namun tetap mempertahankan urutan
  • Hasil kali dilatasi merupakan dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain. Dengan demikian, hasil kali dilatasi AB--> A'B' dan A'B'--> A''B'' adalah dilatasi AB--> A''B''. Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB-->AB
  • Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis invariant. Garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik atau sejajar
Faktor skala dalam dilatasi sering disimbolkan dengan "k" yang merupakan perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik pusat dilatasi. Pada dilatasi suatu bangun faktor skala k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangan. Berikut adalah nilai k yang dimaksud

  1. Jika k > 1, maka  bayangan diperbesar dan letaknya sepihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  2. Jika 0 < k < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan letaknya sepihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  3. Jika -1 < k < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan letaknya berlainan pihak dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
  4. Jika k < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan letaknya berlainan dengan pusat dilatasi dan bangun semula.
Seperti yang sebelumnya telah dijelaskan dilatasi dipengaruhi juga oleh titik pusat dilatasi. Berdasarkan pusatnya maka dilatasi dapat dibedakan menjadi dua yaitu dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dan A(a, b)

1. Dilatasi Terhadap Titik Pusat O(0, 0)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik pusat O(0,0) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = kx dan y' = ky. Secara matematis dilatasi tersebut dapat ditulis

$P(x, y) \xrightarrow[]{[O, k]} P'(kx, ky)$

2. Dilatasi Terhadap Titik A(a, b)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik A(a, b) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = k(x - a) + a dan y' = k(y - b) + b. Secara matematis dilatasi tersebut dapat ditulis
$P(x, y)$ $ \xrightarrow[]{[A(a, b), k]}$ $P'(k(x - a) + a, k(y - b) + b)$

Contoh Soal

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Contoh 1
Tentukan bayangan titik P(-2, 7) oleh dilatasi [O, 3]!
Penyelesaian
Karena pusat dilatasi di O(0, 0), maka
x' = kx
x' = 3(-2) = -6

y' = ky
y' = 3(7) = 21

Jadi, bayangangannya adalah P'(-6, 21)

Contoh 2
Tentukan bayangan titik (3, 9) oleh dilatasi [A(1, 5), 2]!
Penyelesaian
Karena pusat A(1, 5), maka
x' = k(x - a) + a
x' = 2(3 - 1) + 1
x' = 5

y' = k(y - b) + b
y' = 2(9 - 5) + 5
y' = 13

Jadi, bayangangannya adalah (5, 13)

Agar menambah pemahaman mengenai dilatasi cobalah game di bawah!

Game Dilatasi


Semoga materi di atas dapat dipahami dan bermanfaat

1 comment for "TRANSFORMASI GEOMETRI"

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan